Giáo án chuyên đề Toán 12 chân trời Bài 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai cho HS thực hiện HĐKP1 theo nhóm đôi.

Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  với  là nghiệm của hệ bất phương trình

(I)

Miền nghiệm  của hệ (I) là miền tứ giác  (được tô màu) trên Hình 1. Với giá trị F cho trước, xét đường thẳng d:  hay

- GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng để áp dụng trả lời các câu hỏi sau:

+ Đường thẳng d đi qua điểm  và điểm  thì tọa độ của điểm  và điểm  có thỏa mãn phương trình đường thẳng d không? Từ đó tìm giá trị F. 

+ Khi giá trị F tăng thì vị trí của đường thẳng d thay đổi như thế nào? Từ đó ta thấy tung độ giao điểm của  với trục  thay đổi thế nào?

+ Với điều kiện nào của  thì đường thẳng  và miền nghiệm  có điểm chung?

+ Từ đó đưa giá các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .

- GV mời 1 – 2 nhóm HS trình bày kết quả của hoạt động của nhóm mình.

- GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV dẫn dắt: “Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức  trên miền nghiệm  của hệ bất phương trình bậc nhất (I) gọi là bài toán tuyến tính. Biểu thức  gọi là hàm mục tiêu, hệ (I) gọi là ràng buộc, miền nghiệm  của hệ (I) gọi là tập phương án của bài toán.”

GV giới thiệu cho HS về khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến).

- GV giải thích cho HS thấy: “ tập phương án  là miền đa giác và hàm mục tiêu  đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của Tổng quát, người ta chứng minh được rằng khi tập phương án  của bài toán quy hoạch tuyến tính là miền đa giác thì hàm mục tiêu luôn đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của ”

GV đưa các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong trường hợp tập phương án là miền đa giác.

- GV nêu phần chú ý.

- HS tìm hiểu Ví dụ 1. 

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính:

max, min

Với ràng buộc

- GV hướng dẫn HS:

 + Tìm tập phương án  bằng cách tìm giao điểm của các đường thẳng đã cho trong ràng buộc.

+ Tính giá trị của biểu thức  tại các đỉnh của .

+ Từ đó tìm max, min của F.

- GV gọi 1 HS bất kì đứng tại chỗ trả lời và giải thích.

- GV nhận xét.

- GV triển khai HĐKP2 cho HS trao đổi theo nhóm đôi, hoàn thành các yêu cầu sau:

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:

max, min

Với ràng buộc

Tập phương án  của bài toán là phần được tô màu trên Hình 3. Hai điểm  và  gọi là các đỉnh của . Với giá trị  cho trước, xét đường thẳng  hay .

- GV cho HS thảo luận, trả lời các câu hỏi trong SGK.

+ Đường thẳng  đi qua điểm  khi  bằng bao nhiêu?

+ Giao điểm của đường thẳng  với trục  là gì? nếu  tăng thì tung độ giao điểm của  với trục  có tăng không?

+ Nếu  thì  và  có điểm chung không? Từ đó, chỉ ra giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu.

+ Với giá trị nào của  thì  và có điểm chung? Hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất trên  hay không?

- GV mời 1 – 2 nhóm trình bày kết quả hoạt động của nhóm mình. Các nhóm khác nhận xét, bổ sung cho nhóm bạn.

- GV chốt đáp án.

- GV dẫn dắt: Từ bài toán trên ta thấy nếu tập phương án không phải là miền đa giác thì hàm mục tiêu  của bài toán quy hoạch tuyến tính có thể không đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên . Tuy nhiên, người ta chứng minh được rằng nếu  đạt giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất trên thì  đạt giá trị đó tại đỉnh của .

Từ đó, GV đưa chú ý.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 2.

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính

min

Với ràng buộc

- GV hướng dẫn HS thực hiện:

+ Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng trong ràng buộc.

+ Áp dụng chú ý, tìm giá trị nhỏ nhất của F.

- GV cho HS hoạt động nhóm đôi thực hiện yêu cầu của Thực hành 1, 2.

+ GV gọi 1- 2 HS lên bảng trình bày bài.

+ HS ở dưới nhận xét và bổ sung bài làm.

+ GV chốt đáp án.

- HS thực hiện Vận dụng

- GV gợi ý cho HS:

+ Tập phương án của bài toán trên là miền nào?

+ Tính giá trị của biểu thức  tại các đỉnh của . 

- GV cho HS thực hiện cá nhân.

- GV mời 1 HS trình bày kết quả, cả lớp chú ý lắng nghe

- GV nhận xét, chữa bài.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Bài toán quy hoạch tuyến tính

HĐKP1:

a) Thay  vào  ta có:

, suy ra

+ Thay  vào  ta có:

, suy ra

Vậy thì đường thẳng  đi qua điểm ,  thì đường thẳng  đi qua điểm .

b) Ta thấy hoành độ giao điểm của  với trục  là , khi đó tung độ

Vậy khi giá trị của  tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của  với trục  thay đổi cũng tăng (hoặc giảm) tương ứng. 

Khi đó, đường thẳng  có phương không đổi, luôn nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến.

c) Đường thẳng  và miền nghiệm  có điểm chung khi , tức là

Vậy đường thẳng  và miền nghiệm  có điểm chung khi và chỉ khi

d) Từ đó,  đạt được tại điểm ;  đạt được tại điểm .

Khái niệm

Bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến) là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng  ( và  là các số thực không đồng thời bằng 0) trên miền nghiệm  của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( và ).

Biểu thức  gọi là hàm mục tiêu, hệ bất phương trình bậc nhất gọi là ràng buộc, miền nghiệm  gọi là tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính đó.

Các bước giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong trường hợp tập phương án là miền đa giác.

Bước 1: Biểu diễn tập phương án của bài toán trên mặt phẳng tọa độ .

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức  tại các đỉnh của

Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị này là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của  trên .

 Chú ý: 

a) Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, ta viết  max (hoặc min) để thể hiện tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của . Nếu tìm cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của  thì ta viết max, min.

b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của  trên  được kí hiệu lần lượt là  và . Với hai số thực  cho trước, ta viết  để chỉ giá trị của hàm mục tiêu  khi .

Ví dụ 1 (SGK – tr.8)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

HĐKP2

a) Thay  vào phương trình đường thẳng  ta có:

Vậy đường thẳng  đi qua điểm  khi .

b) Giao điểm của đường thẳng  với trục  là . Khi  tăng (hoặc giảm) thì tung độ giao điểm của  với trục  tăng (hoặc giảm). 

Khi đó, đường thẳng  có phương không đổi, luôn nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến.

c) Khi  thì  và  không có điểm chung. Từ dó, .

d) và  có điểm chung khi . Suy ra, hàm mục tiêu  không đạt giá trị lớn nhất trên .

Chú ý: Nhiều bài toán quy hoạch tuyến tính xuất phát từ tình huống thực tế có tập phương án (không là miền đa giác) nằm trong góc phần tư thứ nhất (của mặt phẳng tọa độ ) và hàm mục tiêu  có các hệ số  không âm. Khi đó, người ta chứng minh được rằng luôn đạt giá trị nhỏ nhất trên  tại đỉnh nào đó của .

Từ đó, đối với bài toán quy hoạch tuyến tính 

min

Với tập phương án không là miền đa giác nằm trong góc phần tư thứ nhất và các hệ số và  không âm, ta có thể giải bằng cách thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Biểu diễn tập phương án  của bài toán trên mặt phẳng tọa độ .

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức  tại các đỉnh của .

Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị này là giá trị nhỏ nhất của  trên .

Ví dụ 2 (SGK – tr.9)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8-9).

Thực hành 1

Tọa độ giao điểm  của đường thẳng  và trục  là .

Tọa độ giao điểm  của hai đường thẳng  và  là nghiệm của hệ phương trình

Vậy .

Tương tự, ta tìm được .

Tập phương án  là miền tứ giác  với .

Giá trị của biểu thức  tại các đỉnh của :

Từ đó,

            .

Thực hành 2

Viết lại ràng buộc của bài toán thành

Tọa độ của điểm  là nghiệm của hệ 

Tương tự, tìm .

Tập phương án là miền không đa giác có hai đỉnh  và  như hình bên.

Do nằm trong góc phần tư thứ nhất, các hệ số của hàm mục tiêu đều dương nên hàm mục tiêu đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của .

Ta có:

Từ đó, .

Vận dụng

a) Tập phương án  của bài toán là miền tứ giác  với các đỉnh là ,  và .

Giá trị của  tại các đỉnh của  là: .

Suy ra  đạt được tại các đỉnh  hoặc  đạt được tại đỉnh .

b) Tại mọi điểm ( trên cạnh  của miền , ta đều có  hay , do đó, .

Vậy  đạt giá trị lớn nhất trên  tại mọi điểm thuộc cạnh .