Giáo án chuyên đề Toán 12 chân trời Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV triển khai cho HS thực hiện HĐKP theo nhóm đôi.

Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là 500 dm³. Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ 3 dm đến 10 dm.

-  GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức liên quan đến diện tích, thể tích của hình hộp, trả lời các câu hỏi:

+ Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là  (dm), chiều cao của thùng là  (dm) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu , có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?

+ Có thể biểu thị tổng diện tích   theo  không? Biết  nhận giá trị trong miền nào?

+ Với giá trị nào của  thì  có giá trị nhỏ nhất?

+ GV giúp HS liên hệ với kiến thức tìm GTNN của hàm số trên một đoạn.

- GV mời 1 – 2 nhóm HS trình bày kết quả của hoạt động của nhóm mình.

- GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV dẫn dắt giới thiệu cách sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu.

- HS tìm hiểu Ví dụ 1. 

Trên một cánh đồng rộng lớn, người ta dự định rào một đồng cỏ có dạng hình chữ nhật với diện tích 80 000 m² và tiếp giáp với một bờ sông thẳng. Cần chọn các kích thước của đồng cỏ bằng bao nhiêu để độ dài của hàng rào cần dựng nhỏ nhất?

- GV hướng dẫn HS:

 + Gọi x,y là hai kích thước của đồng cỏ. Đẳng thức biển diễn diện tích của đồng cỏ cần rào là gì? từ đó biểu diễn y theo x.

+ Hàm số biểu diễn tổng chiều dài của hàng rào là gì? 

+ Vận dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- GV gọi 1 HS bất kì đứng tại chỗ trả lời và giải thích.

- GV nhận xét.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi tìm hiểu Ví dụ 2.

Xét tinh huống ở Khởi động. Giả sử người đó chèo thuyền thẳng đến điểm  nằm giữa  và  và cách  một đoạn  (m), rồi chạy bộ thẳng đến . Tìm giá trị của  để người đó tốn ít thời gian nhất.

- GV hướng dẫn HS thực hiện:

+ Nhắc lại công thức tính thời gian trong chuyển động, viết hàm số biểu diễn thời gian người đó đi từ A đến B theo .

+ Vận dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- GV cho HS hoạt động nhóm đôi thực hiện yêu cầu của Thực hành 1, 2.

+ GV gọi 1- 2 HS lên bảng trình bày bài.

+ HS ở dưới nhận xét và bổ sung bài làm.

+ GV chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

HĐKP:

a) Tổng diện tích các mặt của thùng là:

(dm²)

b) Thể tích chứa của thùng là 500 dm³ nên ta có: .

Do đó:  (dm³), .

Vì nên , 

suy ra

c) Ta có:

(dm)

Khi đó  (dm) (thỏa mãn).

Ta có: ; ; .

Do đó,  tại .

Vậy với  dm thì  có giá trị nhỏ nhất.

Các bước giải bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm

Bước 1: Chọn một hoặc một số chữ cái  gọi là biến để biểu thị những đại lượng chưa biết và viết biểu thức biểu thị đại lượng, kí hiệu , cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của  theo các biến đó.

Bước 2: Viết lại biểu thức thành biểu thức chứa một biến (chẳng hạn là ) bằng cách biểu thị các biến khác theo biến  nhờ các dữ kiện đề bài đã cho. Từ đó, ta nhận được hàm số xác định bởi công thức . 

Bước 3: Xác định tập hợp  gồm các giá trị mà biến  có thể nhận.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên  và trả lời bài toán.

Ví dụ 1 (SGK – tr.16)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.16).

Ví dụ 2 (SGK – tr.17)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.17).

Thực hành 1          

Đặt (km)

Ta có:  (km)

Tổng độ dài của đường ống là:

Xét hàm số  trên , ta có:

.

Ta có: .

Do đó  khi .

Vậy tổng độ dài đường ống nhỏ nhất là khoảng km khi điểm  được đặt ở vị trí cách điểm  một khoảng bằng  km.

Thực hành 2

Chiều cao của mặt cắt ngang là:

Đáy lớn của mặt cắt ngang là:

Diện tích của mặt cắt ngang là:

.

Xét hàm số  trên .

Ta có: ;

hoặc

hoặc , .

Do nên phương trình có nghiệm là 

.

Ta có: .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y là .

Suy ra giá trị lớn nhất của  là .

Vậy diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước có giá trị lớn nhát là  khi .