Giáo án Toán 12 chân trời Bài 1: Phương trình mặt phẳng

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- Ghh trả lời HĐKP 1.

- GV giới tiệu về vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

- GV đặt câu hỏi:

+ Qua một điểm xác định được bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Từ đó dẫn dắt đến chú ý.

+ Một mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

- HS quan sát Ví dụ 1, làm Thực hành 1, Vận dụng 1: chỉ ra cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến.

- HS làm HĐKP 2:

b) Nhắc lại công thức tính tích vô hướng của 2 vectơ.

c) Nhận biết vectơ pháp tuyến.

- Tổng quát khi cho mặt phẳng 2 vectơ chỉ phương ,  thì ta có thể tìm vectơ pháp tuyến theo công thức.

- GV giới thiệu:

+ Tên gọi: tích có hướng của hai vectơ.

+ Công thức tính, cách viết tích có hướng.

+ Nếu hai vectơ cùng phương thì tích có hướng bằng bao nhiêu?

- HS đọc Ví dụ 2, làm Thực hành 2, Vận dụng 2.

Áp dụng công thức tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

+ Thực hành 2: Ba điểm A, B, C sẽ tạo ra những cặp vectơ chỉ phương. Từ đó tìm vectơ pháp tuyến.

+ Vận dụng 2: Tìm vectơ pháp tuyến .

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

HĐKP 1:

a) Qua một điểm  cố định trong không gian, có duy nhất một mặt phẳng  vuông góc với giá của vectơ .

b) Qua một điểm  cố định trong không gian, có duy nhất một mặt phẳng  song song hoặc chứa giá của hai vectơ .

Kết luận

Cho mặt phẳng .

• Nếu vectơ  khác 0 và có giá vuông góc với  thì  được gọi là vectơ pháp tuyến của .

• Nếu hai vectơ  không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong () thì  được gọi là cặp vectơ chỉ phương của ().

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  thì  cũng là một vectơ pháp tuyến của .

Ví dụ 1 (SGK -tr.33)

Thực hành 1

a) Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  là .

b) Ta có: .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  là .

Vận dụng 1

Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  là .

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  là .

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

HĐKP 2:

a) 

Vậy  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Kết luận

Trong không gian , nếu mặt phẳng 
nhận hai vectơ 
làm cặp vectơ chỉ phương thì  nhận vectơ

làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ  được gọi là tích có hướng của hai vectơ  và , kí hiệu là .

b) Biểu thức  thường được kí hiệu là . Tương tự, , . Như vây, ta có thể viết:

c)  và  cùng phương .

d) Nếu  thì  và .
Ví dụ 2 (SGK -tr.34)

Thực hành 2

+) Ta có  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

+) Có

Do đó mặt phắng  nhận  làm một vectơ pháp tuyến.

Vận dụng 2:

Ta có

.
Vậy  có giá song song với ngón cái.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thực hiện HĐKP 3.

- Dẫn dắt: để  thì  nên ta sẽ có 1 phương trình với .

- GV giới thiệu về phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- GV đặt câu hỏi:

+ Nếu phương trình mặt phẳng  thì có thể xác định một vectơ pháp tuyến là gì?

+ Một điểm thuộc mặt phẳng khi tọa độ của nó có mối quan hệ như thế nào so với phương trình mặt phẳng?

- HS đọc Ví dụ 3, làm Thực hành 3: xác định vectơ pháp tuyến, điểm thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng.

- HS thực hiện HĐKP 4:

Từ đó có cách tổng quát để lập phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có vectơ pháp tuyến.

- HS quan sát, giải thích Ví dụ 4.

- HS thực hiện HĐKP 5.

- Từ đó, nêu cách tổng quát để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết cặp vectơ chỉ phương.

- HS giải thích Ví dụ 5.

- HS thực hiện HĐKP 6:

- Tổng quát, có cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

- HS giải thích Ví dụ 6, 7.

- GV chú ý về phương trình mặt phẳng đoạn chắn (đều khác 0  ).

- HS làm Thực hành 4: viết phương trình mặt phẳng với các trường hợp cụ thể

- GV nhấn mạnh: các trường hợp đều quy về việc tìm vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng, từ đó viết phương tình mặt phẳng.

.................

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐKP 3:

Ta có ;

Kết luận

Trong không gian , mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó  không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét

a) Mỗi phương trình  (trong đó  không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận  làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho mặt phẳng  có phương trình tổng quát là . Khi đó

Ví dụ 3 (SGK -tr.35)

Thực hành 3

a) Mặt phắng  có một vectơ pháp tuyến là .

Mặt phắng  có một vectơ pháp tuyến là .
b) Thay tọa độ điếm M vào phương trình  ta được: 

Vậy  không thuộc mặt phẳng .

Thay tọa độ điểm N vào phương trình ta được:

Vậy thuộc mặt phẳng .

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

HĐKP 4:

a) ;
b) ;
c)

.

Kết luận:

Trong không gian , phương trình mặt phằng đi qua điểm  và có vectơ pháp tuyến  là

với .

Ví dụ 4 (SGK -tr.36)

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết cặp vectơ chỉ phương

HĐKP 5:

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  là .
b) Phương trình của mặt phẳng

.

 

Kết luận:

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua điểm  và có cặp vectơ chỉ phương , ta thực hiện như sau:

• Tìm một vectơ pháp tuyến .

• Viết phương trình  đi qua  và có vectơ pháp tuyến

Ví dụ 5 (SGK -tr.37)

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

HĐKP 6:

a) Một cặp vectơ chỉ phương của (  ) là: 

.
b) Ta có: .

Một vectơ pháp tuyến của  là:

 .
c) Phương trình mặt phẳng

.

Kết luận:

Để lập phương trinh tổng quát của mặt phẳng  đi qua ba điểm  không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn .

• Tìm một vectơ pháp tuyến .

• Viết phương trình  đi qua  và có vectơ pháp tuyến .

Ví dụ 6 (SGK -tr.37)

Ví dụ 7 (SGK -tr.38)

Nhận xét:

Do đều khác 0 nên có thể viết lại phương trình trên thành .

Phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Thực hành 4:

a)  đi qua  và có vectơ pháp tuyến  nên phương trình của  là

b) có cặp vectơ chi phương là  và , suy ra  có vectơ pháp tuyến là . Phương trình của  là

c)

.................