Giáo án điện tử Toán 12 chân trời Bài 1: Phương trình mặt phẳng

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Trong không gian làm thế nào để xác định một mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ?

CHƯƠNG V:

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG,

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1.

VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

a) Cho vectơ khác . Qua một điểm cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với giá của vectơ ?

b) Cho hai vectơ không cùng phương. Qua một điểm cố định trong không gian, có bao nhiêu mặt phẳng song song hoặc chứa giá của hai vectơ ?

HĐKP1

Giải:

a) Có duy nhất một mặt phẳng.

b) Có duy nhất một mặt phẳng.

Kết luận

Cho mặt phẳng .

• Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với thì được gọi là vectơ pháp tuyến của .
• Nếu hai vectơ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong () thì được gọi là cặp vectơ chỉ phương của ().

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của .

Ví dụ 1: Cho hình lập phương

a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a) Vì và không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng nên là một cặp vectơ chỉ phương của

b) Vì nên là một vectơ pháp tuyến của

Giải:

Thực hành 1

Trong không gian , cho ba điểm

a) Tìm toạ độ của một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

b) Tìm toạ độ của một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Giải:

a) Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là

.

b) Ta có mà Do đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vận dụng 1

Một lăng kính có dạng hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều ở Hình 3a được vẽ lại như Hình 3b. Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Giải:

Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là .

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

2.

XÁC ĐỊNH VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG KHI BIẾT MỘT CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG

Trong không gian , cho mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương

Xét vectơ

a) Vectơ có khác hay không?

b) Tính ;

c) Vectơ có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng không?

HĐKP2

Giải:

a)

Giải:

b) Ta có

c) Vì nên .

Vậy là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Kết luận

Trong không gian , nếu mặt phẳng nhận hai vectơ làm cặp vectơ chỉ phương thì nhận vectơ

làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là . b) Biểu thức thường được kí hiệu là .

Tương tự, , . Như vây, ta có thể viết:

c) và cùng phương .

d) Nếu thì và .

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng nhận làm cặp vectơ chỉ phương. Tìm một vectơ pháp tuyến của

Ta có tích có hướng của hai vectơ là

Giải:

Thực hành 2

Cho mặt phẳng đi qua ba điểm Tìm một cặp vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của

Giải:

Ta có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng .

Có

Do đó mặt phắng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Vận dụng 2

Cho biết hai vectơ có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay trong Hình 5. Tìm một vectơ có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thànhba đường thằng đôi một vuông góc.)

Giải:

Ta có

.

Vậy có giá song song với ngón cái.

3.

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Gọi là một điểm tuỳ ý trong không gian. Tính tích vô hướng theo .

HĐKP3

Giải:

Ta có

;

Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Kết luận

Trong không gian , mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó không đồng thời bằng , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét

a) Mỗi phương trình (trong đó không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Khi đó

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng có phương trình tổng quát là

và

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng trong số các điểm:

Giải:

a) Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là

Giải:

b) Thay toạ độ điểm vào phương trình của , ta được:

Vậy thuộc

Thay toạ độ điểm vào phương trình của , ta được:

Vậy không thuộc

Giải:

a) Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là .

b) Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được:

Vậy không thuộc mặt phẳng .

Thay tọa độ điểm vào phương trình ta được.

Vậy thuộc mặt phẳng .

Thực hành 3

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng

b) Tìm điểm thuộc mặt phẳng trong số các điểm:

Cho hai mặt phẳng có phương trình tổng quát là:

và

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

HĐKP4

Trong không gian , cho mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến. Gọi là một điểm tuỳ ý trong không gian.

a) Tìm toạ độ của

b) Tính tích vô hướng .

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Giải:

Kết luận

Trong không gian , phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến

Giải:

Vì đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên phương trình của là

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm

và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian cho mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương là

a) Tìm toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

b) Lập phương trình của mặt phẳng

HĐKP5

Giải:

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .

b) Phương trình của mặt phẳng

.

Kết luận

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương , ta thực hiện như sau:

• Tìm một vectơ pháp tuyến .
• Viết phương trình đi qua và có vectơ pháp tuyến

Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương là

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------