Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 1: Phương trình mặt phẳng

PHIẾU BÀI TẬP

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng biết rằng:

a) qua ba điểm .

b) đi qua và chứa trục .

c) qua hai điểm và song song với mặt phẳng .

Bài 2: 

a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có phương trình .

b) Chứng minh hai mặt phẳng và song song và tính khoảng cách giữa chúng biết rằng .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt phẳng” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1.Trình bày khái niệm vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng.

2.Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương.

3.Trình bày phương trình tổng quát của mặt phẳng.

4. Trình bày điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

5. Trình bày công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Khái niệm:

Cho mặt phẳng .

• Nếu vectơ khác có giá vuông góc với ( thì được gọi là vectơ pháp tuyến của (.

• Nếu hai vectơ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong ( thì được gọi là cặp vectơ chỉ phương của

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì ( cũng là một vectơ pháp tuyến của

Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và ).

a) Tìm một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ().

b) Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ().

Giải:

a) và không cùng phương và có giá nằm trong mặt phẳng nên và là một cặp vectơ chỉ phương của

) nên là vectơ pháp tuyến của

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian , nếu mặt phẳng nhận hai vectơ làm cặp vectơ chỉ phương thì (α) nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ được gọi là tích có hướng của 

hai vectơ , kí hiệu .

b) Biểu thức thường được kí hiệu là .

Tương tự, ;

. 

Như vậy ta có thể viết: 

.

c) và cùng phương khi và chỉ khi

 .

d) Nếu thì ⊥ và ⊥ .

Ví dụ 2: Một mặt phẳng cho trước biết cặp vectơ chỉ phương lần lượt là Hãy tìm vectơ pháp tuyến của  mặt phẳng

Giải:

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Khái niệm: Trong không gian , mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng

• , trong đó không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

• Nhận xét:

a) Mỗi phương trình (trong đó không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Khi đó khi và chỉ khi .

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian , phương trình mặt phẳng đi qua điểm có vectơ pháp tuyến là 

Hay với 

.

Ví dụ 3: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Giải:

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

hay .

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm có cặp vectơ chỉ phương , ta thực hiện như sau:

• Tìm một vectơ pháp tuyến .

• Viêt phương trình đi qua có vectơ pháp tuyến

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ , phương trình mặt phẳng qua và có cặp vectơ chỉ phương là . Viết phương trình mặt phẳng

Giải:

Mặt phẳng đi qua nhận làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình :

hay

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn .

• Tìm một vectơ pháp tuyến

• Viết phương trình đi qua có vectơ pháp tuyến

Chú ý:

Trong không gian cho ba điểm với đều khác 0. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm có thể viết thành:

  .

Phương trình này gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Ví dụ 5: Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm và

Giải: 

.

Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ta có:

nên cùng phương với .

Chọn ta được phương trình mặt phẳng là:

hay . 

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

và có vectơ pháp tuyến lần lượt là: . Khi đó:

khi và chỉ khi .

Chú ý:

( khi và chỉ khi .

cắt ( khi và chỉ khi và không cùng phương.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và , với . Xác định để

Giải:

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

suy ra .

Do đó, .

Suy ra .

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian , cho hai mặt phẳng:

và có vectơ pháp tuyến lần lượt là: . Khi đó:

khi và chỉ khi .

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và , với . Xác định để

Giải:

Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi

Suy ra

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng có phương trình  và điểm . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính theo công thức:

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình và điểm . Tính khoảng cách từ đến

Giải:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm  và nhận làm vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải: 

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: .

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Bài 3. Cho hai điểm và , gọi là trung điểm của . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vectơ pháp tuyến

Bài 4. Cho tam giác biết , và gọi là trọng tâm của tam giác . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vectơ pháp tuyến .

DẠNG 1:

Bài 1. 

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

  hay.

Bài 2.

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

hay .

Bài 3.

Do   là trung điểm của nên tọa độ điểm là:

suy ra .

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Hay .

Bài 4.

Do là trọng tâm của tam giác nên tọa độ điểm là:

suy ra

Mặt phẳng đi qua điểm có vectơ pháp tuyến có phương trình là:

hay

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm và song song với một mặt phẳng

Phương pháp giải: 

Cách 1:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: .

Do mặt phẳng nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là .

Phương trình mặt phẳng .

Cách 2:

Mặt phẳng nên phương trình mặt phẳng có dạng:

với .

Vì mặt phẳng đi qua điểm nên thay tọa độ điểm vào (*) tìm được .

Bài 1. Trong không gian , viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm và song song với mặt phẳng

Bài 2. Cho hai điểm   và . Gọi là trung điểm của . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng

Bài 3. Trong không gian , cho các điểm

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng

Bài 4. Trong không gian , cho các điểm Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng.

DẠNG 2:

Bài 1.

Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng   là .

Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

hay .

Bài 2.

Do là trung điểm của nên tọa độ điểm là:

suy ra .

Do mặt phẳng song song với mặt phẳng   nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .

Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm là:

hay

Bài 3. 

.

Suy ra .

Gọi   là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ta có nên cùng phương với

Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Do mặt phẳng song song với mặt phẳng nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là:

hay

Bài 4.

.

Suy ra .

Gọi   là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ta có nên cùng phương với

Chọn là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Do mặt phẳng song song với mặt phẳng nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là: 

hay.