Giáo án điện tử toán 10 cánh diều bài 1: Mệnh đề toán học (3 tiết)

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!
Trong hai phát biểu trên, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP
BÀI 1: MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC (3 tiết)
I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC
a) Phát biểu của bạn H’Maryam có phải là một câu khẳng định về tính a chia hết trong toán học hay không?
Mệnh đề Toán học
b) Phát biểu của bạn Phương có phải là một câu khẳng định về một sự kiện trong toán học hay không?
Không phải là mệnh đề Toán học
Chú ý: Khi không sợ nhầm lẫn, ta thường gọi tắt là mệnh đề.
Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề toán học?
a) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam
Không phải là một mệnh đề toán học
b) Số π là một số hữu tỉ
Là một mệnh đề toán học
c) x=1 có phải nghiệm của phương trình x^2-1=0 không?
Không phải là một mệnh đề toán học
Luyện tập 1
Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học
Giải
“Số √3 là một số thực”.
“Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau”.
Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mệnh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?
P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180°”
Khẳng định đúng
Q: “√2 là số hữu tỉ”
Khẳng định sai
Kết luận:
Mỗi mệnh đề toán học phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vừa sai.
Ví dụ 2
Tìm mệnh đề đúng trong những mệnh đề sau
a) A: “Tam giác có ba cạnh”
A là mệnh đề đúng
b) B: “1 là số nguyên tố”
B là mệnh đề sai
Luyện tập 2
Nêu hai ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Giải
Mệnh đề đúng:
P: " Phương trình x2+2x+1=0 có nghiệm nguyên".
Mệnh đề sai:
Q: "√3 là số hữu tỉ ".
II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.
a) Ta có thể khẳng định tính đứng sai của câu trên hay không?
Ta chưa thể khẳng định tính đúng sai của câu trên.
b) Với n=21 thì câu “21 chia hết cho 3” có phải mệnh đề toán học hay không?
“21 chia hết cho 3” là một mệnh đề toán học.
c) Với n=10 thì câu “10 chia hết cho 3” có phải mệnh đề toán học hay không?
“10 chia hết cho 3” là một mệnh đề toán học.
Mệnh đề trên đúng hay sai?
Mệnh đề sai.
Kết luận
Mệnh đề "n chia hết cho 3" với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.
Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x; y)….
Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 18 chia hết cho 9
Không phải là mệnh đề chứa biến.
b) 3n chia hết cho 9
Là mệnh đề chứa biến.
Luyện tập 3
Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.
Giải
P: “2+n=5”
Q: “x>3”
M: “x+y<2”
III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ
Hai bạn Kiên và Cường đang tranh luận với nhau.
Kiên nói “Số 23 là số nguyên tố”
Cường nói “Số 23 không là số nguyên tố”
Em có nhận xét gì về hai câu phát biểu của Kiên và Cường?
Hai câu phát biểu của Kiên và Cường là trái ngược nhau.
Kết luận
Cho mệnh đề P. Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là ¯P.
Lưu ý:
Mệnh đề P ̅ đúng khi P sai
Mệnh đề P ̅ sai khi P đúng.
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
A: “16 là bình phương của một số nguyên”
Mệnh đề A ̅ : “16 không phải là bình phương của một số nguyên” và A ̅ sai.
B: “25 không chia hết cho 5”
Mệnh đề B ̅: “25 chia hết cho 5” và B ̅ đúng.
Luyện tập 4
Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
P: “5,15 là một số hữu tỉ”
Mệnh đề P ̅ : “5,15 không phải là một số hữu tỉ” và P ̅ sai.
Q: “2 023 là số chẵn”
Mệnh đề Q ̅: “2 023 không phải là số chẵn và Q ̅ đúng.
Chú ý:
Để phủ định một mệnh đề (có dạng phát biểu như trên), ta chỉ cần thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.
IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO
Cho n là số tự nhiên. Xét hai mệnh đề:
P: “Số tự nhiên n chia hết cho 6”; Q: “Số tự nhiên n chia hết cho 3”
Xét mệnh đề R: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3”
Nhận xét về cách phát biểu mệnh đề R.
Mệnh đề R kết hợp từ hai mệnh đề P và Q, có dạng "Nếu P thì Q".
Kết luận:
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P⇒Q.
Mệnh đề P⇒Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.
Nhận xét:
Tùy theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P⇒Q là “P kéo theo Q” hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q” ….
Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề:
P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 60°”; Q: “Tam giác ABC đều”
Hãy phát biểu mệnh đề P⇒Q và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
Giải
Mệnh đề P⇒Q: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC đều”.
Mệnh đề trên là mệnh đề đúng.
Nhận xét
Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo P⇒Q.
Khi đó ta nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay
P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.
Luyện tập 5
Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P⇒Q
Giải
“Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có AB^2+AC^2=BC^2”.
Phát biểu dưới dạng điều kiện cần:
“Tam giác ABC là tam giác vuông tại A là điều kiện
đủ để tam giác ABC có AB^2+AC^2=BC^2”.
V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG
Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng P⇒Q như sau:
“Nếu tam giác ABC là tam giác vuông tại A thì tam giác ABC có AB^2+AC^2=BC^2”.
Phát biểu mệnh đề Q⇒P và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P.
Giải
Mệnh đề Q⇒P:
“Nếu tam giác ABC có AB^2+AC^2=BC^2 thì tam giác ABC vuông tại A”.
Mệnh đề Q⇒P đúng, mệnh đề P⇒Q đúng.
KẾT LUẬN
Mệnh đề Q⇒P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P⇒Q.
Nếu cả hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu P⇔Q.
Nhận xét:
Mệnh đề P⇔Q có thể phát biểu ở những dạng như sau:
“P tương đương Q”;
“P là điều kiện cần và đủ để có Q”;
“P khi và chỉ khi Q”;
“P nếu và chỉ nếu Q”.
Ví dụ 6: Trong hoạt động 6, hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, hãy phát biểu mệnh đề tương đương đó.
Giải
Trong Hoạt động 6, ta có:
Mệnh đề P: “Tam giác ABC vuông tại A”
Mệnh đề Q: “Tam giác ABC có 〖AB〗^2+〖AC〗^2=〖BC〗^2”
Theo định lí Pythagore, hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng. Do đó hai mệnh đề P và Q là tương đương và có thể phát biểu như sau: “Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi tam giác ABC có 〖AB〗^2+〖AC〗^2=〖BC〗^2”
Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:
P: “Tam giác ABC đều”
Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°”, hãy phát biểu hai mệnh đề P⇒Q và Q⇒P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.
Nếu cả mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.
Giải
P⇒Q: "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng 60^o".
Q⇒P: "Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng 60^o thì tam giác ABC đều".
Mệnh đề P⇒Q và Q⇒P đều đúng.
Mệnh đề P và Q tương đương, phát biểu như sau:
"Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng 60^o".