Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Bài tập cuối chương 3

CHÀO MỪNG CẢ LỚP  

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN! 

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. 

HÀM SỐ LIÊN TỤC 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

Bài 1. Tìm giới hạn 

1. a) A=lim ((2n^2+1)^4 (n+2)^9)/(n^17+1) b) B=lim (√(n^2+1)-∛(3n^3+2))/(∜(2n^4+n+2)-n)
2. c) lim(n^2 sin⁡nπ/5-2n^3 )

Giải: 

1. a) Ta có. A=lim (n^8 (2+1/n^2 )^4⋅n^9 (1+2/n)^9)/(n^17 (1+1/n^17 ) )=lim ((2+1/n^2 )^4⋅(1+2/n)^9)/(1+1/n^17 )=16
2. b) Ta có: B=lim n(√(1+1/n^2 )-∛(3+2/n^3 ))/n(∜(2+1/n^3 +2/n^4 )-1) =(1-∛3)/(∜2-1).
3. c)  lim(n^2 sin⁡nπ/5-2n^3 )=limn^3 ((sin⁡nπ/5)/n-2)=-∞

Vì limn^3=+∞;lim((sin⁡nπ/5)/n-2)=-2  

Do |(sin⁡nπ/5)/n|≤1/n;lim 1/n=0⇒lim((sin⁡nπ/5)/n-2)=-2. 

Bài 2. Tìm giới hạn của dãy (u_n ) biết: 

a). u_n=(√(4n^2-1)+∛(8n^3+2n^2-3))/(√(16n^2+4n)-∜(n^4+1))    b). u_n=(√(n^3+n)+∛(n^3+3n))/∜(16n^4+1)   

Giải 

a). Ta có u_n=(√(4n^2-1)+∛(8n^3+2n^2-3))/(√(16n^2+4n)-∜(n^4+1))=(√(n^2 ((4n^2-1)/n^2 ) )+∛(n^3 ((8n^3+2n^2-3)/n^3 ) ))/(√(n^2 ((16n^2+4n)/n^2 ) )+∜(n^4 ((n^4+1)/n^4 ) ))  

=(n.√(4-1/n^2 )+n.∛(8+2/n-3/n^3 ))/(n.√(16+4/n)+n.√(1+1/n^4 ))=(√(4-1/n^2 )+∛(8+2/n-3/n^3 ))/(√(16+4/n)+√(1+1/n^4 )). Vì có lim⁡〖1/n^2 〗=0, lim⁡〖2/n〗=0, lim⁡〖3/n^3 〗=0, lim⁡〖4/n〗=0 và lim⁡〖1/n^4 〗=0. Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=(√(4-0)+∛(8+0-0))/(√(16+0)+√(1+0))=4/5. 

b).  

Ta có u_n=(√(n^2+n)+∛(n^3+3n))/∜(16n^4+1)=(√(n^2 ((n^2+n)/n^2 ) )+∛(n^3 ((n^3+3n)/n^3 ) ))/∜(n^4 ((16n^4+1)/n^4 ) )   =(n.√(1+1/n)+n.∛(1+3/n^2 ))/(n.∜(16+1/n^4 ))=(√(1+1/n)+∛(1+3/n^2 ))/∜(16+1/n^4 ).  

Vì có lim⁡〖1/n〗=0, lim⁡〖3/n^2 〗=0, và lim⁡〖1/n^4 〗=0. Nên lim⁡〖u_n 〗=(√(1+0)+∛(1+0))/∜(16+0)=1/2. 

Bài 3. Tìm giới hạn của dãy (u_n ) biết: 

a). u_n=((-3)^n-4.5^(n+1))/(2.4^n+3.5^n )        b). u_n=(2^n-3^n+4.5^(n+2))/(2^(n+1)+3^(n+2)+5^(n+1) ) 

Giải 

a). Ta có : 

u_n=((-3)^n-4.5^(n+1))/(2.4^n+3.5^n )=((-3)^n-20.5^n)/(2.4^n+3.5^n )=(((-3)^n-20.5^n)/5^n )/((2.4^n+3.5^n)/5^n )=(((-3)^n)/5^n -20.5^n/5^n )/(2.4^n/5^n +3.5^n/5^n )=((-3/5)^n-20)/(2.(4/5)^n+3),  

mà 〖lim⁡(-3/5)〗^n=0 và 〖lim⁡(4/5)〗^n=0. Do đó lim⁡〖u_n 〗=(0-20)/(2.0+3)=-20/3.     

b). Ta có u_n=(2^n-3^n+4.5^(n+2))/(2^(n+1)+3^(n+2)+5^(n+1) )=(2^n-3^n+100.5^n)/(2.2^n+9.3^n+5.5^n )=((2^n-3^n+100.5^n)/5^n )/((2.2^n+9.3^n+5.5^n)/5^n )      

=(2^n/5^n -3^n/5^n +100.5^n/5^n )/(2.2^n/5^n +9.3^n/5^n +5.5^n/5^n )=((2/5)^n-(3/5)^n+100)/(2.(2/5)^n+9.(3/5)^n+5).  

Vì 〖lim⁡(2/5)〗^n=0 và 〖lim⁡(3/5)〗^n=0 nên lim⁡〖u_n 〗=(0-0+100)/(2.0+9.0+5)=20.   

Bài 4. Tìm giới hạn của dãy (u_n ) biết: 

1. a) u_n=∛(8n^3+4n^2+2)-2n+3 b) u_n=(√(n^4+n^2+1)-∛(n^6+1))

Giải 

1. a) u_n=∛(8n^3+4n^2+2)-2n+3

=(∛(8n^3+4n^2+2)-2n)[(∛(8n^3+4n^2+2))^2+2n.∛(8n^3+4n^2+2)+4n^2 ]/((∛(8n^3+4n^2+2))^2+2n.∛(8n^3+4n^2+2)+4n^2 )+3  

=(4n^2+2)/((∛(8n^3+4n^2+2))^2+2n.∛(8n^3+4n^2+2)+4n^2 )+3. 

Ta có ∛(8n^3+4n^2+2)=∛(n^3 ((8n^3+4n^2+2)/n^3 ) )=n∛(8+4/n+2/n^3 ).  

Do đó u_n=(n^2 (4+2/n^2 ))/(n^2 (∛(8+4/n+2/n^3 ))^2+2n^2.∛(8+4/n+2/n^3 )+4n^2 )=(4+2/n^2 )/((∛(8+4/n+2/n^3 ))^2+2.∛(8+4/n+2/n^3 )+4).  

Vì lim⁡〖2/n^2 〗=0, lim⁡〖4/n〗=0 và lim⁡〖2/n^3 〗=0. Nên lim⁡〖u_n 〗=1/3. 

1. b) lim⁡(√(n^4+n^2+1)-∛(n^6+1))

=lim⁡[(√(n^4+n^2+1)-n^2 )-(∛(n^6+1)-n^2 )]  

• Tính lim⁡(√(n^4+n^2+1)-n^2 ) =lim⁡((n^2+1)/(√(n^4+n^2+1)+n^2 ))=lim⁡((1+1/n^2 )/(√(1+1/n^2 +1/n^4 )+1))=1/2.
• Tính lim⁡( ∛(n^6+1)-n^2)=lim⁡〖1/(∛((n^6+1)^2 )+n^2 ∛((n^6+1))+n^4 )〗=0.

 Do đó lim⁡(√(n^4+n^2+1)-∛(n^6+1))=1/2. 

Bài 5. Tìm giới hạn của dãy (u_n ) biết: 

1. a) u_n=1/1.4+1/4.7+1/7.10⋅⋅⋅+1/((3n-2)(3n+1)) b) u_n=(1+3+5+⋅⋅⋅+(2n+1))/(3n^2+4)

Giải 

1. a) Ta có 1/((3k-2)(3k+1) )=1/3⋅((3k+1)-(3k-2))/((3k-2)(3k+1) )=1/3 ((3k+1)/((3k-2)(3k+1) )-(3k-2)/((3k-2)(3k+1) ))

=1/3 (1/(3k-2)-1/(3k+1)),(∀k=1,2,3...,n).  

Từ đó u_n=1/1.4+1/4.7+1/7.10⋅⋅⋅+1/(3n-2)(3n+1)  

=1/3 (1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+⋅⋅⋅+1/(3n-2)-1/(3n+1))=1/3 (1-1/(3n+1)) , có lim⁡〖1/(3n+1)〗=0 .  

Do đó lim⁡〖u_n 〗=1/3 (1-0)=1/3. 

1. b) u_n=(1+3+5+⋅⋅⋅+(2n+1))/(3n^2+4).

Ta có dãy số 1+3+5+⋅⋅⋅+(2n+1) là một cấp số cộng với u_1=1 công sai d=3-1=2 và số hạng tổng quát u_m=2n+1⇔u_1+(m-1)d=2n+1 

⇔1+(m-1).2=2n+1⇔m=n+1,  

nên tổng của dãy số trên là S=m/2 (u_1+u_m )=(n+1)/2 (1+2n+1)=(n+1)^2. Từ đó u_n=(n+1)^2/(3n^2+4)=(1+1/n)^2/(3+4/n^2 )có lim⁡〖1/n〗=0 và lim⁡〖4/n^2 〗=0 từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=1/3. 

Bài 6.  

1. a) Tính giới hạn của dãy (u_n ) biết u_n=(1.3.5.7....(2n-1))/(2.4.6...2n(n∈N^∗ ) )
2. b) Cho dãy số (u_n ) xác định như sau: {█(&u_1=2022@&u_(n+1)=√(n+1&u_n^n+1/(2022^n )) " " (n≥1))┤

Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số (u_n )? 

Giải 

1. a) Ta có u_n>0,∀n∈N∗ do đó(u_n )^2>0,∀n∈N∗.

Có (u_n )^2=(1^2.3^2.5^2.7^2....(2n-1)^2)/(2^2.4^2.6^2...(2 n⁡〖)^2 〗 )<(1^2.3^2.5^2.7^2....(2n-1)^2)/((2^2-1)(4^2-1)(6^2-1)...[(2n)^2-1] ) 

=(1^2.3^2.5^2.7^2....(2n-1)^2)/(1.3.3.5.5.7....(2 n⁡- 1)(2 n⁡+ 1))=1/(2n+1). 

Do đó ta có ∀n∈N∗ thì 0<(u_n )^2<1/(2n+1).  

Mà lim⁡0=0 và lim⁡〖1/(2n+1)〗=0 nên 〖lim⁡(u_n )〗^2=0.  

Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

1. b) Ta có  u_n>0,∀n∈N^∗và u_(n+1)^(n+1)=u_n^n+1/(2022^n )⇒u_(n+1)^(n+1)-u_n^n=1/(2022^n )

Do đó: u_2^2-u_1^1=1/(2022^1 )            u_3^3-u_2^2=1/(2022^2 )             ...   u_n^n-u_(n-1)^(n-1)=1/(2022^(n-1) ) 

Suy ra: u_n^n-u_1^1=1/(2022^1 )+1/(2022^2 )+...+1/(2022^(n-1) )=(1-(1/2022)^(n-1))/2021 

Vậy u_n=√(n&2022+(1-(1/2022)^(n-1))/2021) 

1<u_n=√(n&2013+(1-(1/2022)^(n-1))/2021)<√(n&2023)<(⏞(1+1+...+1)┴n+2023)/n=1+2022/n (Cô si) 

Mặt khác lim⁡(1+2022/n)=1. Vậy lim⁡〖u_n 〗=1 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

...