Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Bài tập cuối chương 1

CHÀO MỪNG CẢ LỚP  

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN! 

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

Bài 1. Giải phương trình 

1. a) cot⁡(4x-π/6)=√3; b) (cot⁡x/3-1)(cot⁡x/2+1)=0
2. c) cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=1/2 d) (1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0.

Giải: 

1. a) cot⁡(4x-π/6)=√3⇔cot⁡(4x-π/6)=cot⁡π/6

■(&⇔4x-π/6=π/6+kπ,k∈Z@& ⇔4x=π/3+kπ,k∈Z⇔x=π/12+k π/4,k∈Z.)    

1. b) Điều kiện : sin⁡x/3≠0 và sin⁡x/2≠0. Khi đó ta có (cot⁡x/3-1)(cot⁡x/2+1)=0

⇔[■(c o t⁡x/3-1=0@c o t⁡x/2+1=0)⇔[■(c o t⁡x/3=1@c o t⁡x/2=-1)┤┤ ⇒[■(x=3π/4+k3π,k∈Z@x/3=π/4+kπ,k∈Z@x/2=-π/4+kπ,k∈Z)⇒-π/2+k2π,k∈Z.┤  

Các giá trị này thoả mãn điều kiện. 

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là■(x=3π/4+k3π,k∈Z@" và " x=-π/2+k2π,k∈Z.) 

1. c) Vì 1/2=cos⁡〖60〗^∘ nên cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=1/2

⇔cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=cos⁡〖60〗^∘  

⇔2x+〖50〗^∘=±〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z  

⇔[■(2x=-〖50〗^∘+〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z@2x=-〖50〗^∘-〖60〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z)┤  

⇔[■(x=5^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=-〖55〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z.)┤ 

1. d) Ta có

(1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0⇔[■(1+2cos⁡x=0@3-cos⁡x=0)⇔[■(cos⁡x=-1/2@cos⁡x=3)┤┤ 

Phương trình cos⁡x=-1/2 có các nghiệm là x=±2π/3+k2π,k∈Z 

còn phương trình cos⁡x=3 vô nghiệm. 

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x=±2π/3+k2π,k∈Z. 

Bài 2. Giải phương trình 

1. a) sin⁡2xcot⁡x=0; b) tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0;

Giải 

1. a) Điều kiện của phương trình sin⁡〖2x cot⁡x 〗=0 là sin⁡x≠0.

Ta biến đổi phương trình đã cho ⇔2sin⁡xcos⁡x⋅(cos⁡x)/(sin⁡x)=0⇔2cos^2⁡x=0 

⇔cos⁡x=0⇒x=π/2+kπ,k∈Z  

Các giá trị này thoả mãn điều kiện của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là x=π/2+kπ,k∈Z 

1. b) Điều kiện của phương trình tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0 là cos⁡(x-〖30〗^∘ )≠0.

Ta biến đổi phương trình đã cho ⇔(sin⁡(x-〖30〗^∘ ))/(cos⁡(x-〖30〗^∘ ) )⋅cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0 

⇔[■(s i n⁡(x-30^∘)=0@c o s⁡(2x-150^∘)=0)⇒[■(x-〖30〗^∘=k〖180〗^∘,k∈Z@2x-〖150〗^∘=±〖90〗^∘+k〖360〗^∘,k∈Z)┤┤ 

⇒[■(x=30^∘+k180^∘,k∈Z@2x=240^∘+k360^∘,k∈Z@2x=60^∘+k360^∘,k∈Z)⇒[■(x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z@x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z.)┤┤  

Khi thay vào điều kiện cos⁡(x-〖30〗^∘ )≠0, ta thấy giá trị x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘ không thoả mãn, còn giá trị x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘ thoả mãn. Vậy nghiẹ̀m của phương trình đã cho là x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,k∈Z 

Bài 3. Chứng minh biểu thức sau là một hằng số 

 y=√(sin^4⁡x+4cos^2⁡x)-√(cos^4⁡x+4sin^2⁡x)-cos⁡2x. 

Giải 

y=√(sin^4⁡x+4(1-sin^2⁡x) )-√(cos^4⁡x+4(1-cos^2⁡x) )-cos⁡2x  

    =√((sin^2⁡x-2)^2 )-√((cos^2⁡x-2)^2 )-cos⁡2x  

    =|sin^2⁡x-2|-|cos^2⁡x-2|-cos⁡2x  

    =2-sin^2⁡x-(2-cos^2⁡x )-cos⁡2x  

    =cos^2⁡x-sin^2⁡x-cos⁡2x=0 

Bài 4. Chứng minh biều thức sau không chứa x : 

y=1/(cos^6⁡x)-tan^6⁡x-(3tan^2⁡x)/(cos^2⁡x). 

Giải 

y=(1-sin^6⁡x)/(cos^6⁡x)-(3sin^2⁡x)/(cos^4⁡x)=(1-sin^6⁡x-3sin^2⁡xcos^2⁡x)/(cos^6⁡x)  

=((1-sin^2⁡x)(1+sin^2⁡x+sin^4⁡x)-3sin^2⁡xcos^2⁡x)/(cos^6⁡x)  

=(cos^2⁡x)/(cos^6⁡x) (1+sin^4⁡x-2sin^2⁡x)=(1-sin^2⁡x)^2/(cos^4⁡x)=1 

Bài 5. Tính các biểu thức sau không sử dụng máy tính cầm tay 

1. a) sin^4⁡π/16+sin^4⁡3π/16+sin^4⁡5π/16+sin^4⁡7π/16 b) cot⁡7,5^∘+tan⁡67,5^∘-tan⁡7,5^∘-cot⁡67,5^∘
2. a) sin^4⁡π/16+sin^4⁡3π/16+sin^4⁡5π/16+sin^4⁡7π/16=((1-cos⁡π/8)/2)^2+((1-cos⁡3π/8)/2)^2+((1-cos⁡5π/8)/2)^2+((1-cos⁡7π/8)/2)^2

=1/4 (1-2 cos⁡〖π/8〗+cos^2⁡〖π/8〗+1-2 cos⁡〖3π/8〗+cos^2⁡〖3π/8〗+1-2 cos⁡〖5π/8〗+cos^2⁡〖5π/8〗+1-2 cos⁡〖7π/(8 )+cos^2⁡〖7π/8〗 〗 ┤  

=1-1/2 (cos⁡〖π/8〗+cos⁡〖3π/8〗+cos⁡〖5π/8〗+cos⁡〖7π/8〗 )  +1/4 ((1+cos⁡π/4)/2+(1+cos⁡3π/4)/2+(1+cos⁡5π/4)/2+(1+cos⁡7π/4)/2)  

=1-1/2 (cos⁡π/8+cos⁡3π/8-cos⁡3π/8-cos⁡π/8)+1/8 (4+√2/2-√2/2-√2/2+√2/2)=3/2. 

1. b) cot⁡7,5^∘+tan⁡67,5^∘-tan⁡7,5^∘-cot⁡67,5^∘

=(cos⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ )-(sin⁡7,5^∘)/(cos⁡7,5^∘ )+(sin⁡67,5^∘)/(cos⁡67,5^∘ )-(cos⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ )=(2sin⁡(〖135〗^∘-〖15〗^∘ ))/(sin⁡(〖45〗^∘-〖30〗^∘ )sin⁡(〖180〗^∘-〖45〗^∘ ) )  

=(cos^2⁡7,5^∘-sin^2⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ cos⁡7,5^∘ )+(sin^2⁡〖67.5〗^∘-cos^2⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ cos⁡67,5^∘ ) =(2sin⁡〖120〗^∘)/((sin⁡〖45〗^∘ cos⁡〖30〗^∘-cos⁡〖45〗^∘ sin⁡〖30〗^∘ )sin⁡〖45〗^∘ )  

=(cos⁡〖15〗^∘)/(1/2 sin⁡〖15〗^∘ )-(cos⁡〖135〗^∘)/(1/2 sin⁡〖135〗^∘ )=2(sin⁡〖135〗^∘ cos⁡〖15〗^∘-cos⁡〖135〗^∘ sin⁡〖15〗^∘ )/(sin⁡〖15〗^∘ sin⁡〖135〗^∘ ) =√3/(√2/2 (√3/2-1/2)⋅√2/2)=(4√3)/(√3-1)=6+2√3. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

Bài 1. Rút gọn biểu thức 

1. a) (sin^2⁡2α+4sin^4⁡α-4sin^2⁡αcos^2⁡α)/(4-sin^2⁡2α-4sin^2⁡α) b) 3-4 cos⁡2a+cos⁡4ac
2. c) cos⁡4a-sin⁡〖4 acot⁡2a 〗 d) (cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡2atan⁡a)

Giải: 

1. a) (sin^2⁡2α+4sin^4⁡α-4sin^2⁡αcos^2⁡α)/(4-sin^2⁡2α-4sin^2⁡α)= =(sin^2⁡2α+4sin^4⁡α-sin^2⁡2α)/(4cos^2⁡α-4sin^2⁡αcos^2⁡α)

=(4sin^4⁡α)/(4cos^2⁡α(1-sin^2⁡α) )=tan^4⁡α 

1. b) 3-4cos⁡2a+cos⁡4a=3-4(1-2sin^2⁡a)+(1-2sin^2⁡2a)
   =8sin^2⁡a-8sin^2⁡acos^2⁡a=8sin^2⁡a(1-cos^2⁡a) =8sin^4⁡a
2. c) cos⁡4a-sin⁡〖4 acot⁡2a 〗=2 cos^2⁡2a-1-2 sin⁡〖2 acos⁡〖2a  cos⁡2a/sin⁡2a 〗 〗=-1.
   d) (cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡〖2 atan⁡a 〗 )=(cos⁡a/sin⁡a +sin⁡a/cos⁡a )/(1+sin⁡〖2 asin⁡a 〗/cos⁡〖2 acos⁡a 〗 )=1/sin⁡acos⁡a ⋅cos⁡acos⁡2a /(cos⁡〖2 acos⁡a 〗+sin⁡〖2 asin⁡a 〗 ) □( ) 

=(1-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) )=(sin⁡π/2-sin⁡(a+π/4))/(sin⁡(a-π/4) ) =2/(sin⁡2a)⋅(cos⁡acos⁡2a)/(cos⁡(2a-a))=2cot⁡2a. 

Bài 2. Không dùng máy tính cầm tay hãy tính 

1. a) cos⁡〖〖67〗^∘ 〖30〗^′ 〗 và cos⁡〖〖75〗^o 〗 b) (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ ) c) tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖80〗^∘

Giải 

1. a) cos⁡〖67〗^∘ 〖30〗^′=cos⁡〖135〗^∘/2=√((1+cos⁡〖135〗^∘)/2)=√((1-√2/2)/2)=√(2-√2) /2

cos⁡〖75〗^∘=cos⁡(〖45〗^∘+〖30〗^∘ )=√2/4(√3-1). 

2. b) cot⁡〖30〗^∘=1/(tan⁡〖2.15〗^∘ )=(1-tan^2⁡〖15〗^∘)/(2tan⁡〖15〗^∘ )=(cot^2⁡〖15〗^∘-1)/(2cot⁡〖15〗^∘ ).

Đặt x=cot⁡〖15〗^∘ và chú ý rằng cot⁡〖30〗^∘=√3 ta có 

√3=(x^2-1)/2x⇔x^2-2√3 x-1=0." "  

Giải phương trình trên ta được x=2+√3 (nghiệm x=√3-2 loại ├ cot⁡〖15〗^∘>0). Do đó (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ )=(2+√3+1)/(2(2+√3))=(3+√3)/(2(2+√3))=(3-√3)/2 

1. c) tan⁡〖〖20〗^∘  tan⁡〖〖40〗^∘  tan⁡〖〖80〗^∘ 〗 〗 〗

=-tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖100〗^∘-tan⁡(〖60〗^o-〖40〗^o )  tan⁡〖〖40〗^o 〗 tan(〖60〗^o+〖40〗^o )  

 =-(tan⁡6 0^o-tan⁡4 0^o)/(1+tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o )  tan⁡4 0^o  ( tan⁡6 0^o+tan⁡4 0^o)/(1-tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o )=-(3-〖tan〗^2⁡4 0^o)/(1-3 〖tan〗^2⁡4 0^o )  tan⁡4 0^o 

=-tan⁡1 20^o=√3 (Có thể chứng minh được (tan⁡〖120〗^∘)/(tan⁡〖40〗^∘ )=(3-tan^2⁡〖40〗^∘)/(1-3tan^2⁡〖40〗^∘ ) ). 

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ là AB sao cho AB = AD. Biết tan(BDC) ̂=3/4, tính các giá trị lượng giác của (BAD.) ̂ 

...