Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 2 Bài 3: Cấp số nhân

CHÀO MỪNG CÁC EM  

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

+ Cho cấp số nhân có số hạng đầu u_1=3, số hạng thứ hai u_2=1/3. Xác định công bội và số hạng tổng quát của cấp số nhân này. 

+ Cho ví dụ về cấp số nhận có công bội là số âm. 

BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Cấp số nhân

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể tử số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. 

u_n=u_(n-1)⋅q" " v"ớ" i" " n∈N^∗." " 

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 

Chú ý:  

Tính chất: 〖u_k〗^2=u_(k-1).u_(k+1), ∀k≥2. 

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u_1 và công bội q thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức 

u_n=u_1⋅q^(n-1) " " v"ớ" i" " n≥2." " 

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n ) với công bội q≠1.  

Đặt S_n=u_1+u_2+…+u_n. Khi đó  S_n=(u_1 (1-q^n ))/(1-q). 

Chú ý: Khi q=1 thì S_n=n.u_1 

LUYỆN TẬP, 

VẬN DỤNG 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân 

Bài 1. a) Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân. 

-4,-1,-1/4,-1/16,-1/64,-1/256.  

3. b) Cho cấp số nhân (u_n ) có số hạng đầu u_1=-1 và công bội q=-3. Viết 6 số hạng đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.
4. a) Ta có     -1=-4. 1/4;      -1/4=-1. 1/4;   -1/16=-1/4. 1/4;

-1/64=-1/16. 1/4;   -1/256=-1/64. 1/4.     

Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số -4,-1,-1/4,-1/16,-1/64,-1/256. là một cấp số nhân với công bội q=1/4. 

1. b) Ta có  u_2=u_1 q=(-1)(-3)=3;  u_3=u_2  q⁡= 3(-3)=-9;

 u_4=u_3  q⁡= (-9)(-3)=27;     u_5=u_4  q⁡= (27)(-3)=-81; 

     u_6=u_5  q⁡= (-81)(-3)=243;  

Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 

S_6=((-1).(1-3^6))/(1+3)=182 

Bài 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Dãy nào không phải cấp số nhân? Giải thích? 

1. a) Dãy số (x_n ), với x_n=n^2; b) Dãy số (y_n ), với y_n=(√5)^(2n-3);
2. c) Dãy số (z_n ), với z_n=2/n; d) Dãy số (w_n ), với w_n=(3^n+1)/3^(n+1) .

Giải: 

9. a) Ba số hạng đầu của dãy số (x_n ) là 1, 4, 9. Vì 4=1.4;9≠4.4 nên dãy số (x_n )không phải là cấp số nhân.
10. b) Ta có y_(n+1)=(√5)^(2(n+1)-3)=(√5)^(2n-1) nên y_(n+1)/y_n =(√5)^2=5 (là số không đổi). Do đó, (y_n )phải là cấp số nhân với công bội q=5.
11. c) Ta có z_(n+1)=2/(n+1) nên z_(n+1)/z_n =n/(n+1) (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).

Do đó (z_n ) không phải là một cấp số nhân. 

81. d) Ba số hạng đầu của dãy số (w_n ) là 4/9, 10/27, 28/81. Vì 10/27=4/9⋅5/6, 28/81≠10/27⋅5/6 nên dãy số (w_n )không phải là cấp số nhân.

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n )có u_1=3 và q=2. 

7. a) Tìm u_7.
8. b) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?

Giải 

3. a) Ta có u_7=u_1 q^(7-1)=3.2^6=192.
4. b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n=u_1 q^(n-1)=3.2^(n-1).

Vì u_n=12288 nên 3.2^(n-1)=12288⇔n=13. 

Bài 4. a) Cho cấp số nhân (a_n )có a_1=3 và a_2=-6. Tìm số hạng thứ mười của dãy. 
b) Cho dãy số (u_n ) xác định bởi u_1=3 và u_(n+1)=u_n/4,∀n≥1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. 

Giải: 

2. a) Ta có công bội của cấp số nhân là q=a_2/a_1 =-2.

Suy ra a_10=a_1.q^9=3.(-2)^9=-1536.  

4. b) Ta có: u_(n+1)=u_n/4=1/4.u_n nên (u_n ) là cấp số nhân có công bội q=1/4.

Suy ra số hạng tổng quát là u_n=u_1.q^(n-1)=3.(1/4)^(n-1) . 

Bài 5. a) Cho cấp số nhân (x_n )có x_3=18 và x_7=1458. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó. 

1. b) Cho cấp số nhân (x_n ) có {■8(x_2-x_4+x_5=10@x_3-x_5+x_6=20)┤. Tìm x_1 và công bội
2. c) Cho cấp số nhân (x_n ) có x_2=-3 và x_4=-27. Tính số hạng đầu x_1 và công bội q của cấp số nhân.
3. d) Cho cấp số nhân (a_n ) có a_3=8 và a_5=32. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

Giải 

1. a) Gọi q là công bội của cấp số nhân (x_n ).

Ta có {■8(x_3=18@x_7=1458)┤⇔{■8(x_1.q^2=18@x_1.q^6=1458)┤⇔{■8(x_1.q^2=18@x_1.q^2 q^4=1458)⇔{■8(x_1=2@q^2=9)┤┤⇔{■8(x_1=2@q=±3)┤  

+ Với x_1=2 và q=3, ta có số hạng tổng quát là  

x_n=x_1.q^(n-1)=2.3^(n-1).  

+ Với x_1=2 và q=-3, ta có số hạng tổng quát là  

x_n=x_1.q^(n-1)=2.(-3)^(n-1). 

1. b) Ta có {■8(x_2-x_4+x_5=10@x_3-x_5+x_6=20)┤⇔{■8(x_2 (1-q^2+q^3 )=10@x_2 q(1-q^2+q^3 ) )┤⇔{■8(x_2=2@q=2)┤.

Suy ra x_1=x_2/q=1. 

1. c) Ta có {█(&x_2=-3@&x_4=-27)┤ ⇔{█(&x_1 q=-3@&x_1 q^3=-27)┤ ⇔{█(&x_1=-1@&q=3)┤ hoặc {█(&x_1=1@&q=-3)┤.
2. d) Ta có: {█(&a_3=8@&a_5=32)┤ ⇔{█(&a_1 q^2=8@&a_1 q^4=32)┤ ⇔{█(&a_1=2@&q=2)┤ hoặc {█(&a_1=2@&q=-2)┤.

Với a_1=2,q=2 thì a_10=a_1 q^9=1024.  

Với a_1=2,q=-2 thì a_10=a_1 q^9=-1024.  

Vậy a_10=±1024. 

Bài 6.  

1. a) Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng 1/9 số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
2. b) Cho cấp số nhân (u_n ) có u_1=3 và 15u_1-4u_2+u_3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho

...