Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Bài tập cuối chương 2

CHÀO MỪNG CÁC EM HỌC SINH 

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

CHƯƠNG II: DÃY SỐ.  

CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 

Bài 1. Cho dãy số (a_n )  xác định bởi a_1=1;a_(n+1)=-3/2 〖a_n〗^2+5/2 a_n+1, ∀n∈N^∗. Số hạng thứ 201 của dãy số (a_n )có giá trị bằng bao nhiêu? 

Giải: 

Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.  

Ta có a_1=1;a_2=2;a_3=0;a_4=1;a_2=2;a_6=0;+1. 

Từ đây chúng ta có thể dự đoán a_(n+3)=a_n,∀n∈N^∗. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:  

Với n=1 thì a_1=1 và a_4=1. Vậy đẳng thức đúng với n=1. 

Giả sử đẳng thức đúng với n=k≥1, nghĩa là a_(k+3)=a_k. 

Giải: 

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, nghĩa là chứng minh 

 a_(k+4)=a_(k+1). 

Thật vậy, ta có a_(k+4)=-3/2 a_(k+3)^2+5/2 a_(k+3)+1 (theo hệ thức truy hồi). 

Theo giả thiết quy nạp thì a_(k+3)=a_k nên a_(k+4)=-3/2 a_k^2+5/2 a_k+1=a_(k+1). 

Vậy đẳng thức đúng với n=k+1. Suy ra a_(n+3)=a_n,∀n∈N^∗. 

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu m≡p("mod" 3) thì a_m=a_p. 

Ta có 2018≡2(mod⁡3 ) nên a_2018=2. 

Bài 2. Cho dãy số (a_n )  xác định bởi a_1=1;a_(n+1)=√(〖a_n〗^2+1),∀n∈N^∗. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (a_n ). 

Giải: 

Ta có a_2=√2;a_3=√3;a_4=√4;a_5=√5. 

Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được a_n=√n. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được a_n=√n. 

Bài 3. Cho dãy số (a_n ) xác định bởi a_1=1;a_(n+1)=3a_n+10,∀n∈N^∗. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số (a_n ). 

Giải: 

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n ). 

Đặt b_n=a_n+5 khi đó b_(n+1)=a_(n+1)+5. 

Từ hệ thức truy hồi a_(n+1)=3a_n+10,∀n∈N^∗  

suy ra b_(n+1)-5=3(b_n-5)+10⇔b_(n+1)=3b_n. 

Như vậy ta có b_1=a_1+5=6;b_(n+1)=3b_n.  

Ta có b_2=3b_1 ;b_3=3b_2=3^2 b_1 b_43=3b_3=3^3 b_1. Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng b_n=3^(n-1) b_1,∀n∈N^∗,  

suy ra a_n=2.3^n-5,∀n∈N^∗. Do đó a_15=28697809 

Bài 4. Cho dãy số (a_n ) xác định bởi a_1=5,a_2=0 và a_(n+2)=a_(n+1)+6a_n,∀n≥1. Số hạng thứ 14 của dãy là số hạng nào? 

Giải: 

+ Ta có a_(n+2)=a_(n+1)+6a_n,∀n≥1⇔a_(n+2)+2a_(n+1)=3(a_(n+1)+2a_n ),∀n≥1. 

Do đó ta có b_1=a_2+2a_1=10 và b_(n+1)=3b_n,∀n≥1. 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số (b_n ),  

ta có b_2=3b_1;b_3=3b_2=3^2 b_1;b_4=3b_3=3^3 b_1. 

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: 

b_n=3^(n-1) b_1=10.3^(n-1),∀n≥1. 

+ Ta có a_(n+2)=a_(n+1)+6a_n,∀n≥1 

⇔a_(n+2)-3a_(n+1)=-2(a_(n+1)-3a_n ),∀n≥1. 

Do đó ta có: c_1=a_2-3a_1=-15 và c_(n+1)=-2c_n,∀n≥1. 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số (c_n ), ta có  

c_2=-2c_1;c_3=(-2)^2 c_1;c_4=(-2)^3 c_1. 

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: 

c_n=(-2)^(n-1) c_1=-15.(-2)^(n-1),∀n≥1. 

+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình: 

{█(&a_(n+1)+2a_n=10.3^(n-1)@&a_(n+1)-3a_n=15.(-2)^(n-1) )┤⇒a_n=2.3^(n-1)+3.(-2)^(n-1). 

Do đó số hạng tổng quát của dãy số (a_n ) là  

a_n=2.3^(n-1)+3.(-2)^(n-1),∀n≥1. 

Vậy suy ra a_14=3164070. 

Bài 5. Cho dãy số (a_n )  xác định bởi a_1=-3 và a_(n+1)=a_n+n^2-3n+4, ∀n∈N∗. Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? 

Giải: 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số (a_n ) ta có: 

a_n=a_1+[1^2+2^2+…+(n-1)^2 ]-3[1+2+…+(n-1)]+4(n-1)  

⇔a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3. 

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (a_n ) là a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3. 

Giải phương trình a_n=1391 ta được n=18 

Bài 6. Cho dãy số (x_n ) với x_n=(an+4)/(n+2). Dãy số (x_n ) là dãy số tăng khi ? 

Giải: 

Ta có x_(n+1)=(a(n+1)+4)/(n+3).  

Xét hiệu x_(n+1)-x_n=(a(n+1)+4)/(n+3)-(an+4)/(n+2)=(2a-4)/((n+2)(n+3)). 

(x_n)là dãy tăng khi và chỉ khi x_(n+1)-x_n>0,∀n≥1 

⇔2a-4>0⇔a>2. 

Bài 7. Cho dãy số (a_n ) xác định bởi a_1=1,a_2=2 và a_(n+2)=√3.a_(n+1)-a_n, 

∀n≥1. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất sao cho a_(n+p)=a_n,∀n∈N∗. 

Giải: 

Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy (a_n): ta được 

(a_n ):a_1=1;a_1=2;a_3=2√3-1;a_4=4-√3;a_5=2√3-2;  

a_6=2-√3;a_7=-1; a_8=-2;a_9=1-2√3;a_10=√3-4; 

a_11=2-2√3;a_12=√3-2;  a_13=1;a_14=2.  

Từ đây ta dự đoán được a_(n+12)=a_n,∀n≥1. 

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được a_(n+12)=a_n,∀n≥1. Vậy số nguyên dương cần tìm là p=12. 

Bài 8. Cho dãy số (u_n)thỏa mãn  

u_1=1/2;u_(n+1)=u_n/(2(n+1)u_n+1),n≥1.S_n=u_1+u_2+...+u_n<2017/2018  

khi n có giá trị nguyên dương lớn nhất. 

Giải: 

Dễ chỉ ra được u_n>0,∀n≥1. 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có  1/u_(n+1) =1/u_n +2n+2,∀n≥1.  

Suy ra  1/u_n =1/u_1 +2(1+2+..+n-1)+2(n-1)  

⇔1/u_n =2+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n⇒u_n=1/(n(n+1)). 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 

Bài 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 

-2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19. 

Giải: 

Vì 1=-2+3;     4=1+3;      7=4+3;   10=7+3;  

13=10+3;   16=13+3;   19=16+3.   

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với công sai d=3. 

Bài 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. 

1. a) Dãy số (a_n ), với a_n=4n-3; b) Dãy số (b_n ), với b_n=(2-3n)/4;
2. c) Dãy số (c_n ), với c_n=2018^n; d) Dãy số (d_n ), với d_n=n^2.

...