Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 3 Bài 1: Giới hạn của dãy số

CHÀO MỪNG CÁC EM  

ĐẾN VỚI BÀI GIẢNG HÔM NAY 

KHỞI ĐỘNG 

+ Cho  lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗 =a và lim┬(n→+∞)⁡〖v_n 〗 =b≠0, hãy tính lim┬(n→+∞)⁡〖〖(u〗_n 〗.v_n); lim┬(n→+∞)⁡〖(u_n 〗+v_n);   lim┬(n→+∞)⁡〖u_n/v_n 〗  . 

+ Nêu công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là u_1 và công bội là q. 

CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC 

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Ta nói dãy số (u_n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim┬(n→+∞)⁡〖u_n=0〗 hay u_n→0 khi n→+∞, hoặc lim⁡〖u_n 〗=0. 

Ví dụ: dãy số có giới hạn là 0 là dãy u_n=1/n;u_n=1/n^2 . 

Chú ý: + lim 1/n^k =0 với k là một số nguyên dương. 

+ lim⁡q^n=0 nếu |q|<1. 

- Ta nói dãy số (u_n ) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim┬(n→+∞)⁡(u_n-a) =0, kí hiệu lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗= a hay u_n→ a khi n→+∞. 

Ví dụ lim┬(n→+∞)  (2n+1)/3n=2/3 

Chú ý: Nếu u_n=c (hằng số) thì  lim┬(n→+∞) u_n=c. 

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

- Nếu lim⁡〖u_n 〗=a;lim⁡〖v_n=b〗  thì: 

lim⁡(u_n+v_n )=a+b  

lim⁡〖(u_n-v_n)〗=a-b  

lim⁡〖(u_n.v_n)〗=a.b  

lim⁡〖u_n/v_n =a/b;(v_n≠0, b≠0)〗  

- Nếu u_n≥0 với mọi n và lim⁡〖u_n 〗=a thì a≥0 và lim⁡√(u_n )=√a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn 

S=u_1+u_2+…+u_n+…=u_1/(1-q)  

Ví dụ: xét tổng S = 1/2+(-1/4)+1/8+…+(-1)^(n+1)/(2^n  )+… 

Tổng trên là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u_1=1/2;q=-1/2. 

Vậy S=u_1/(1-q)=1/3 

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số (u_n) có giới hạn +∞ khi n→+∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 

Kí hiệu: lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=+∞ hay lim⁡〖u_n 〗=+∞ hay u_n→+∞ khi n→+∞. 

- Dãy số (u_n) có giới hạn -∞ khi n→ +∞ nếu lim┬(n→+∞)⁡〖(-u_n)〗=+∞ 

Kí hiệu lim┬(n→+∞)⁡〖u_n 〗=-∞ hay lim⁡〖u_n 〗=-∞ hay u_n→-∞ khi n→+∞ 

- Nhận xét:  

lim┬(n→+∞) n^k=+∞, với k là số nguyên dương. 

lim┬(n→+∞) q^n=+∞, với q>1. 

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn của dãy số 

Bài 1. Chứng minh các dãy số (u_n ) sau đây có giới hạn là 0.    

1. a) u_n=(-1)^n/(4n+5) b) u_n=(cos⁡4 n)/(n+3)  
2. c) u_n=(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3) d) u_n=(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1)

Giải 

1. a) Với mỗi số dương ε tùy ý, cho trước, ta có |u_n |=|(-1)^n/(4n+5)|=1/(4n+5)<ε

⇔4n+5>1/ε⇔n>1/4 (1/ε-5). Suy ra với mỗi số dương cho trước, thì với mọi số tự nhiên n>1/4 (1/ε-5)  ta đều có |u_n |<ε. Vậy lim⁡〖u_n 〗=0. 

1. b) Ta có ∀n∈N∗thì |cos⁡4 n|≤1⇒|u_n |=|(cos⁡4 n)/(n+3)|≤|1/(n+3)|≤|1/n|=1/n. Áp dụng: “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim⁡〖1/n^k 〗=0” ta được lim⁡〖1/n〗=0.

Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

c). Ta có ∀n∈N∗thì |cos⁡〖n^3 〗 |≤1⇒|u_n |=|(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3)|≤|2/(2n+3)|≤|2/2n|=1/n. Áp dụng “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim⁡〖1/n^k 〗=0” ta được lim⁡〖1/n〗=0. Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

d). Ta có |u_n |=|(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1) |≤1/2^(n+1) +1/3^(n+1) <1/2^(n+1) +1/2^(n+1) =1/2^n ,∀n∈N. Vì lim⁡〖1/2^n 〗=〖lim⁡(1/2)〗^n=0. Từ đó suy ra lim⁡〖u_n 〗=0. 

Bài 2. Chứng minh: 

4. a) u_n=(2n+3)/(4n+5)=1/2 b) lim⁡〖(4.3^n-5.2^n)/(6.3^n+3.2^n )〗=2/3  
5. c) lim⁡(√(n^2+2n)-n)=1.

Giải 

1. a) Gọi u_n=(2n+3)/(4n+5). ∀n∈N∗ ta có |u_n-1/2|=|(2n+3)/(4n+5)-1/2|=|1/(8n+10)|<1/n.

  Vì lim⁡〖1/n〗=0 nên lim⁡(u_n-1/2)=0, suy ra lim⁡〖u_n 〗=1/2. 

b). Gọi u_n=(4.3^n-5.2^n)/(6.3^n+3.2^n ). ∀n∈N∗ ta có |u_n-2/3|=|(4.3^n-5.2^n)/(6.3^n+3.2^n )-2/3|  

=|(12.3^n-15.2^n-12.3^n-6.2^n)/(3(6.3^n+3.2^n))|=|(-7.2^n)/(6.3^n+3.2^n )|=(7.2^n)/(6.3^n+3.2^n )<(7.2^n)/(6.3^n )=7/6⋅(2/3)^n.  

 Vì 〖lim⁡(2/3)〗^n=0 nên lim⁡(u_n-2/3)=0. Do đó lim⁡〖u_n 〗=2/3. 

c).  Gọi u_n=(√(n^2+2n)-n). ∀n∈N∗  

ta có |u_n-1|=|√(n^2+2n)-(n+1)|  

=|[√(n^2+2n)-(n+1)][√(n^2+2n)+(n+1)]/(√(n^2+2n)+(n+1))|  

=|((√(n^2+2n))^2-(n+1)^2)/(√(n^2+2n)+(n+1))| =|(-1)/(√(n^2+2n)+(n+1))|=1/(√(n^2+2n)+(n+1))<1/n.  

Vì lim⁡〖1/n〗=0 nên lim⁡(u_n-1)=0. Do đó lim⁡〖u_n 〗=1. 

Bài 3. Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa 

1. a)  lim (sin^2⁡n)/(n+2) b) lim (1-n^2)/n

...