Giáo án điện tử Toán 11 chân trời Chương 8 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng, Có góc giữa hai đường thẳng chéo nhau không? Nếu có, làm thế nào để xác định?

CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

NỘI DUNG BÀI HỌC

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

HĐKP1:

Cho hai đường thẳng chéo nhau  và  trong không gian. Qua một điểm  tùy ý vẽ // và vẽ //. Khi thay đổi vị trí điểm , có nhận xét gì về góc giữa  và

Giải

Khi thay đổi vị trí của điểm M thì góc giữa a' và b' không thay đổi.

ĐỊNH NGHĨA

Góc giữa hai đường thẳng  trong không gian, kí hiệu , là góc giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với .

Chú ý:  a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng  ta có thể lấy một điểm  nằm trên một trong
hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại.
b) Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ  đến .

Ví dụ 1: (SGK – tr54)

                                                Cho hình hộp  có 6 mặt đều là hình vuông và  lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

1. a) và
2. b) và

Giải

1. a) Ta có // , suy ra (tam giác  vuông cân tại )
2. b) Ta có // , // ,

suy ra  (tam giác  có ba cạnh bằng nhau)

Thực hành 1

Cho hình hộp  có 6 mặt đều là hình vuông và  lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

1. a) và b) MN và CD’                                   c) EF và CC’

Giải

1. a) Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN//AC

Mà AA' // DD'

Nên góc giữa MN và DD' là góc giữa AC Và AA'

1. b) Vì MN//AC nên góc giữa MN và CD' là góc giữa AC và CD'
2. c) Trong tam giác AA'D' có EF là đường trung bình nên EF//AD'

Mà CC'//AA'

Nên góc giữa EF và CC' là góc giữa AA' và AD'.

VẬN DỤNG 1

Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác  vuông cân tại . Tính góc giữa hai thanh gỗ  và

Giải

Vì  nên góc giữa a và b là góc giữa MN và OM

Mà tam giác OMN vuông cân

Nên góc giữa và  là 

2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

HĐKP2:

                             Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng

1. a) AB và BB’
2. b) AB và DD’

Giải

1. a) ABB'A' là hình vuông nên góc giữa AB và BB' là 
2. b) Vì DD'//AA' nên góc giữa AB và DD' là góc giữa AB và AA' và bằng 

ĐỊNH NGHĨA

Trong không gian, hai đường thẳng  được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng .

Kí hiệu: hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau là  hoặc

Ví dụ 2: (SGK – tr55)

Cho hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là hình vuông. Chứng minh rằng ,

Giải

Ta có suy ra . Vậy

Ta có , suy ra   (hai đường chéo của hình vuông luôn vuông góc với nhau).

Vậy

Thực hành 2

                                           Cho hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là hình vuông.

1. a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với
2. b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với .

Giải

1. a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với là , , , ,
2. b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với là

Chú ý:

1. a) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
   b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường này thì cũng vuông góc với đường kia
2. c) Trong không gian, khi có hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì ta chưa kết luận được  như trong hình học phẳng.

VẬN DỤNG 2