Giáo án điện tử Toán 11 chân trời Chương 8 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐÃ ĐẾN VỚI BUỔI HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Mặt phẳng nghiêng thường được sử dụng trong lao động vì tính tiện dụng của nó. Quan sát hình mặt phẳng nghiêng (P) và mặt đất (Q) trong hình dưới đây và hãy tìm hiểu tại sao:

• được gọi là góc hợp bởi đường thẳng và .
• được xem là góc hợp bởi hai mặt phẳng  và .

CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 5. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• HĐKP1: Cho đường thẳng và mặt phẳng

1. a) Trong trường hợp vuông góc với , tìm góc giữa và một đường thẳng b tuỳ ý trong
2. b) Trong trường hợp không vuông góc với , tìm góc giữa và đường thẳng  là hình chiếu vuông góc của  trên

Giải

1. a) Ta có: .

Vậy góc giữa  và đường thẳng  là góc vuông.

1. b) Lấy . Dựng

Ta có: góc giữa  và  là góc .

Định nghĩa

• Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  thì ta nói góc giữa đường thẳng  với  bằng .
• Nếu đường thẳng không vuông góc với  thì góc giữa  và hình chiếu  của  trên  gọi là góc giữa đường thẳng  và .
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  được kí hiệu là

Chú ý

1. a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn .
2. b) Nếu đường thẳng nằm trong hoặc  song song với  thì .

Ví dụ 1: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh , cạnh  và vuông góc với đáy. Tính:

1. a) Góc giữa đường thẳng và ;
2. b) Góc giữa đường thẳng và
3. c) Góc giữa đường thẳng và

Giải

1. a) Ta có suy ra .

Ta lại có , suy ra suy ra góc giữa đường thẳng  và  bằng

1. b) Ta có suy ra .

Ta lại có , suy ra

Vậy  là hình chiếu của  trên  

Nếu gọi  là góc giữa đường thẳng  và  thì

(vì tam giác vuông cân tại ).

1. c) Ta có suy ra là hình chiếu của  trên  

Nếu gọi  là góc giữa đường thẳng  và  thì  

Trong tam giác  vuông tại , ta có

Suy ra góc giữa đường thẳng  và  bằng

Thực hành 1

Cho hình lập phương . Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng

Giải

Ta có:

.

Ta có:

.

1. c) Ta có:

                                                      .

.

Vậy .

Vận dụng 1

Một tấm ván hình chữ nhật  được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết . Tính góc giữa đường thẳng  và đáy hố.

Giải

Ta có:

.

Vậy góc giữa đường thẳng  và đáy hồ khoảng .

2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện