Giáo án điện tử Toán 11 chân trời Chương 8 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dựng này?

Làm thế nào tính được những khoảng cách đó?

CHƯƠNG VIII. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 4. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

• HĐKP1:

1. a) Cho điểm và đường thẳng không đi qua . Trong mặt phẳng , dung êke để tìm điểm  trên  sao cho  (Hình 1a). Đo độ dài đoạn .
2. b) Cho điểm không nằm trên mặt phẳng sàn . Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc của  trên  (Hình 1b). Đo độ dài đoạn .

Giải

1. a) Ta có: MH là khoảng cách từ M đến a.
2. b) Ta có: MH là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P).

Định nghĩa

• Nếu là hình chiếu vuông góc của điểm  trên đường thẳng  thì độ dài đoạn thẳng  được gọi là khoảng cách từ  đến đường thẳng , kí hiệu .
• Nếu là hình chiếu vuông góc của điểm  trên mặt phẳng  thì độ dài đoạn  được gọi là khoảng cách từ  đến , kí hiệu .
• Chú ý: Ta quy ước:

                                       khi và chỉ khi  thuộc

                              khi và chỉ khi  thuộc

Nhận xét

• Lấy điểm tùy ý trên đường thẳng , ta luôn có .
• Lấy điểm tùy ý trên mặt phẳng , ta luôn có

Ví dụ 1: Cho hình chóp  có đáy là tam giác đều cạnh  và .     Cho biết

1. a) Tính khoảng cách từ điểm đến .
2. b) Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Giải

1. a) Ta có suy ra .
2. b) Vẽ , ta có (định lí ba đường vuông góc)

suy ra

Tam giác  đều có cạnh bằng  suy ra

Trong tam giác vuông , ta có

Vậy ta có

Thực hành 1

Cho hình chóp  với đáy  là hình vuông cạnh . Cho biết và  vuông góc với .

1. a) Tính khoảng cách từ điểm đến
2. b) Tính khoảng cách từ điểm đến cạnh
3. a) Ta có:

Lại có:

.

.

Giải

1. b) Kẻ .

Xét  vuông tại : .

Xét  vuông tại: .

Vận dụng 1

Một quạt trần có bề dày thân quạt bằng 20 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ đỉnh quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.

Giải

Đổi

Độ dài của cán quạt là:

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

• HĐKP2:

1. a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.
2. b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

Giải

1. a) Ta có: .

Mà   là hình bình hành

Có:

 là hình chữ nhật .

1. b) Ta có: .

Mà   là hình bình hành

Có:

 là hình chữ nhật .

Định nghĩa

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến , kí hiệu .
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng  song song với  là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến , kí hiệu
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và  là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến, kí hiệu

Ví dụ 2:  Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng . Tính theo :

1. a) Khoảng cách giữa đường thẳng DD' và (AA'C'C);
2. b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AA'D'D) và (BB'C'C).

Giải

1. a) Ta có

DD' // AA', d(DD', (AA'C'C)) = d(D, (AA'C'C)).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có DO  AC và DO AA', suy ra DO  (AA'C'C).

Vậy d(DD', (AA'C'C)) = d(D,(AA'C'C)) = DO =

1. b) Ta có (AA'D'D) // (BB'C'C) suy ra

d ((AA'D'D), (BB'C'C)) = d (A, (BB'C'C)).

Do AB  BB' và AB  BC, suy ra AB  (BB‘C'C).

Vậy d ((AA'D'D), (BB'C'C)) = AB = .

Thực hành 2

Cho hình lập phương  có cạnh bằng . Tính khoảng cách :

1. a) Giữa hai mặt phẳng và ; b) Giữa đường thẳng và

Giải

Ta có:

Gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên .

Ta có:

Mà .

Mà

.

Xét  là hình vuông cạnh

Xét  vuông tại  có  là đường cao.

1. b) Ta có:

.

Mà .

     .

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau