Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 18: Xác suất có điều kiện

CHÀO MỪNG CÁC EM

QUAY LẠI VỚI

MÔN HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Ô cửa bí mật (Let’s Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ, đã được mua bản quyền và phát sóng ở nhiều nước trên thế giới. Nội dung trò chơi như sau:

Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra.

KHỞI ĐỘNG

Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ lại nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.

CHƯƠNG VI.

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

BÀI 18: XÁC SUẤT

CÓ ĐIỀU KIỆN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

Xác suất có điều kiện

2

Công thức nhân xác suất

1.

XÁC SUẤT

CÓ ĐIỀU KIỆN

HĐ1.

Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi trong hộp, không trả lại. Sau đó Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh nếu biết rằng Sơn đã lấy được bút bi đen.

Giải

Nếu Sơn lấy được bút bi đen thì trong 11 chiếc bút còn lại có 7 bút bi xanh và 4 bút bi đen.

Vậy xác suất để Tùng lấy được bút bi xanh khi biết Sơn lấy được

Cho hai biến cố và . Xác suất của biến cố , được tính khi biết biến cố đã xảy ra, được gọi là xác suất của với điều kiện và kí hiệu là .

Định nghĩa

Cho hai biến cố và bất kì, với . Khi đó

Công thức

Ví dụ 1: Một hộp có 20 viên bi trắng và 10 viên bi đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp đó. Gọi là biến cố: “An lấy được viên bi trắng”; là biến cố: “Bình lấy được viên bi trắng”. Tính bằng định nghĩa và bằng công thức tính ở trên.

Giải

Cách 1: Bằng định nghĩa

Nếu xảy ra tức là Bình lấy được viên bi trắng. Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 19 viên bi trắng và 10 viên bi đen.

Giải

Cách 2: Bằng công thức

Bình có 30 cách chọn, An có 29 cách chọn một viên bi trong hộp.

Do đó

Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 29 cách chọn từ 29 viên bi còn lại.

là biến cố “Bình và An cùng lấy được viên bi trắng”. Bình có 20 cách chọn một viên bi trắng, An có 19 cách chọn một viên bi trắng trong 19 viên bi trắng còn lại.

Giải

Bằng định nghĩa:

Nếu không xảy ra tức là Bình lấy được viên bi đen.

Khi đó, trong hộp còn lại 29 viên bi với 20 viên bi trắng và 9 viên bi đen.

Luyện tập 1. Trở lại Ví dụ 1. Tính bằng định nghĩa và bằng công thức.

Giải

Bằng công thức:

Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 29 cách chọn từ 29 viên còn lại.

Vậy

Luyện tập 1. Trở lại Ví dụ 1. Tính bằng định nghĩa và bằng công thức.

Giải

Bình có 10 cách chọn bi đen. An có 20 cách chọn viên bi trắng.

Vậy

Ví dụ 2:

a) Từ công thức tính ở trên, chứng minh rằng nếu và là hai biến cố độc lập với thì và

b) Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, hãy chứng tỏ rằng nếu và là hai biến cố độc lập thì và

Giải

a) Nếu và là hai biến cố độc lập thì

Vậy với ta có:

Giải

b) Theo định nghĩa, là xác suất của , tính trong điều kiện biết rằng biến cố đã xảy ra.

Vì độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của . Do đó:

Tương tự, là xác suất của , tính trong điều kiện biết rằng biến cố đã xảy ra.

Vì độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của . Do đó:

Luyện tập 2. Chứng tỏ rằng nếu và là hai biến cố độc lập thì:

và .

Giải

Theo định nghĩa là xác suất của biết rằng biến cố đã xảy ra.

Vì độc lập nên việc xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất không xuất hiện của . Do đó .

Tương tự là xác suất của biết rằng biến cố không xảy ra.

Vì độc lập nên việc không xảy ra không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của . Do đó .

Ví dụ 3: (Bảng dữ liệu thống kê 2x2) Một viện nghiên cứu về an toàn giao thông muốn tìm hiểu về mối quan hệ giữa việc thắt dây an toàn khi lái xe và nguy cơ tử vong của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Giả sử viện đã xem xét 577 006 vụ tai nạn giao thông ô tô và việc thắt dây an toàn của người lái xe khi xảy ra tai nạn giao thông. Kết quả cho thấy:

• Trong số những người lái xe có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong và 412 368 người sống sót;
• Trong số những người lái xe không thắt dây an toàn, có 1 601 người tử vong và 162 527 người sống sót.

Chọn ngẫu nhiên một người lái xe trong số 577 006 người bị tai nạn giao thông.

a) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp không thắt dây an toàn.

b) Tính xác suất để người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông trong trường hợp có thắt dây an toàn.

c) So sánh hai xác suất ở câu a và câu b rồi rút ra kết luận.

Giải

a) Không gian mẫu là tập hợp gồm người lái xe xảy ra tai nạn giao thông

Gọi là biến cố: “Người lái xe đó tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông”;

là biến cố: “Người lái xe đó không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

Khi đó là biến cố: “Người lái xe đó tử vong và không thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

Ta cần tính

Ta có người không thắt dây an toàn

.

Trong số những người không thắt dây an toàn, có 1 601 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông

.

Giải

Giải

b) Ta cần tính

là biến cố: “Người lái xe đó có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

là biến cố: “Người lái xe đó tử vong và có thắt dây an toàn khi xảy ra tai nạn giao thông”.

Ta có người lái xe có thắt dây an toàn

Trong số những người có thắt dây an toàn, có 510 người tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông

Giải

c)

Như vậy, xác suất để một người lái xe không thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông cao gấp khoảng 7,9 lần xác suất để một người lái xe thắt dây an toàn bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông. Tức là, không thắt dây an toàn làm tăng nguy cơ bị tử vong khi xảy ra tai nạn giao thông của người lái xe lên gấp khoảng 7,9 lần.

Luyện tập 3. Một công ty dược phẩm muốn so sánh tác dụng điều trị bệnh X của hai loại thuốc M và N. Công ty đã tiến hành thử nghiệm với 4 000 bệnh nhân mắc bệnh X trong đó 2 400 bệnh nhân dùng thuốc M, 1 600 bệnh nhân còn lại dùng thuốc N. Kết quả được cho trong bảng dữ liệu thống kê 2 x 2 như sau:

Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân trong số 4 000 bệnh nhân thử nghiệm sau khi uống thuốc. Tính xác suất để bệnh nhân đó

a) uống thuốc M, biết rằng bệnh nhân đó khỏi bệnh;

b) uống thuốc N, biết rằng bệnh nhân đó không khỏi bệnh.

Giải

Không gian mẫu là tập hợp 4 000 bệnh nhân.

a) Gọi là biến cố: “Bệnh nhân đó uống thuốc M”,

là biến cố: “Bệnh nhân đó khỏi bệnh”.

Ta cần tính .

Ta có là tập hợp con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân khỏi bệnh. Ta có

là biến cố: “Bệnh nhân đó uống thuốc M và khỏi bệnh”.

Giải

b) là biến cố: “Không khỏi bệnh”. là biến cố: “Người đó dùng thuốc N”.

Ta cần tính .

Ta có là tập con của không gian mẫu gồm các bệnh nhân không khỏi bệnh.

Vậy .

biến cố: “Bệnh nhân đó uống thuốc N và không khỏi bệnh”.

Vậy

Giải

2.

CÔNG THỨC

NHÂN XÁC SUẤT

HĐ2.

Chứng minh rằng, với hai biến cố và , , ta có:

Giải

Theo công thức: Với hai biến cố và bất kì với .

Suy ra

Nếu thì nên công thức ở trên đúng với mọi biến cố

Vậy với hai biến cố và bất kì, ta có:

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Chú ý

Vì nên với hai biến cố và bất kì, ta cũng có:

Nhận xét:

Ví dụ 4: Trong một hộp kín có 7 chiếc bút bi xanh và 5 chiếc bút bi đen, các chiếc bút có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một chiếc bút bi từ trong hộp, không trả lại. Sau đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một trong 11 chiếc bút còn lại. Tính xác suất để Sơn lấy được bút bi đen và Tùng lấy được bút bi xanh.

Giải

Gọi là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi đen”;

là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi xanh”.

Ta cần tính .

Nếu xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi đen thì trong hộp có 11 bút bi với 7 bút bi xanh.

Giải

Một phương pháp mô tả trực quan lời giải trên là dùng sơ đồ hình cây.

Trên nhánh và tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen và bút xanh.

Trên nhánh tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút đen.

Trên nhánh tương ứng ghi xác suất lấy được bút đen, bút xanh với điều kiện đã lấy được bút xanh.

Vậy xác suất cần tính là:

Giải

Luyện tập 4. Trở lại Ví dụ 4. Tính xác suất để:

a) Sơn lấy được bút bi xanh và Tùng lấy được bút bi đen;

b) Hai chiếc bút lấy ra có cùng màu.

Giải

a) Gọi là biến cố: “Bạn Sơn lấy được bút bi xanh”;

là biến cố: “Bạn Tùng lấy được bút bi đen”.

Ta cần tính .

Giải

Nếu xảy ra tức là bạn Sơn lấy được bút bi xanh thì trong hộp còn lại 11 bút bi với 6 bút bi xanh và 5 bút bi đen. 

Giải

b) Tương tự câu a), ta tính được:

Xác suất để hai chiếc bút bi lấy ra có cùng màu là:

Vận dụng. Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: và

a) Chứng minh rằng:

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Nếu xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau.

Nếu xảy ra, tức là cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3.

Do đó

Hướng dẫn

Giải

Gọi tương ứng là các biến cố: “Sau ô của số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

a) Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố là đồng khả năng.

• Xét .

Giải

• Xét .

Giải

c) Từ (1), (2) và a) suy ra

Vậy .

Người chơi nên chuyển sang cửa số 2. Bởi vì với điều kiện “người quản trò mở cửa số 3 ở đó không có ô tô” thì xác suất để cửa số 2 có ô tô gấp đôi xác suất để cửa số 1 có ô tô.