Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 11: Nguyên hàm

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

KHỞI ĐỘNG

Ta cần tìm quãng đường S(t) mà máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng Như vậy, ta cần tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số đã cho. Bài toán này dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm nguyên hàm.

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 11: NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của một hàm số

NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ

• HĐ1. Nhận biết khái niệm nguyên hàm

Giải

• Ta có .
• Ta có .

KẾT LUẬN

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Chú ý.

Trường hợp thì các đẳng thức và được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm và đạo hàm bên trái tại điểm của hàm số , tức là

Ví dụ 1. Cho hàm số . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số trên ?

Ta có: .

Vì với mọi nên hàm số là một nguyên hàm của trên .

Hàm số không là nguyên hàm của trên vì với , ta có

Giải

Luyện tập 1

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng ?

Giải

Ta có , .

Vậy là một nguyên hàm của trên khoảng

Hàm số không là nguyên hàm của trên khoảng .

• HĐ2. Nhận biết họ nguyên hàm của một hàm số

Giải

a) Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì nên hàm số (với là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số trên .

KẾT LUẬN

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của trên . Khi đó: a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên ;

b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bới .

CHÚ Ý

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số trên , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của trên và khi đó

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số liên tục trên khoảng thì có nguyên hàm trên khoảng đó

CHÚ Ý

c) Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .

d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số trên . Từ đó hãy tìm

Giải

Vì nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Do đó,

Tìm

Luyện tập 2

Giải

Vì nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Do đó, .

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

• HĐ3. Khám phá nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác

Giải

a) Ta có:

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên

KẾT LUẬN

Giải

Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm

Luyện tập 3

Cho hàm số .

a) Chứng minh rằng hàm số là một nguyên hàm của hàm số . Từ đó tìm .

b) Từ kết quả câu a, tìm ( là hằng số khác ).

Giải

a) Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số . Ta có .

Luyện tập 3

Cho hàm số .

a) Chứng minh rằng hàm số là một nguyên hàm của hàm số . Từ đó tìm .

b) Từ kết quả câu a, tìm ( là hằng số khác ).

Giải

b) Ta có .

• HĐ4. Khám phá nguyên hàm của một tổng

Giải

a) Ta có: ; .

. Do đó là một nguyên hàm của hàm số trên . b)

+) Ta có với là hằng số bất kì.

+) Có với là các hằng số bất kì.

KẾT LUẬN

Giải

b) Do

Do đó . (Viết .

Vậy .

Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm:

Luyện tập 4

Ví dụ 5. Giải bài toán trong tình huống mở đầu

Giải

Gọi là quãng đường máy bay di chuyển được sau giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có . Do đó, là một nguyên hàm của hàm số vận tốc . Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta đượ

Ví dụ 5. Giải bài toán trong tình huống mở đầu

Giải

Theo giả thiết, nên và ta được (m)

Máy bay rời đường băng khi (giây) nên

(m)

Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là m

Vận dụng 1

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền (triệu đồng) thu được khi đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số . Một công ty công nghệ cho biết tốc độ biến động của doạn thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi , ở đó là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán con chíp.

Hướng dẫn: Vì nên doanh thu là một nguyên hàm của

Giải

nên là một nguyên hàm của

+) Ta có:

.

+) Vì nên .

Do đó .

+) Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp là:

(triệu đồng).

NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Nhắc lại:

- Hàm số , với được gọi là hàm số lũy thừa.

- Tập xác định của hàm số luỹ thừa tuỳ thuộc vào giá trị của . Cụ thể:

• Với a nguyên dương, tập xác định là
• Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ;
• Với không nguyên, tập xác địinh là .

a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Nhắc lại:

- Đạo hàm của các hàm số và là:

Tổng quát:

Hàm số luỹ thừa có đạo hàm với mọi và

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa , hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với : ; ; .

Giải

+)

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa , hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với : ; ; .

Giải

+)

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa , hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với : ; ; .

Giải

+)

• HĐ5. Khám phá nguyên hàm của hàm số lũy thừa

Giải

a)

KẾT LUẬN

Giải

b)

Với thì . Do đó .

+) Với thì . Do đó .

Ví dụ 6. Tìm:

Luyện tập 5

Luyện tập 5

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

• HĐ6. Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác

b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác

• HĐ6. Khám phá nguyên hàm của hàm số lượng giác

KẾT LUẬN

Ví dụ 7. Tìm:

Luyện tập 6

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------