Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 17: Phương trình mặt cầu

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí đến vị trí ta sẽ được khoảng cách 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?

CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP

TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 17:

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

Phương trình mặt cầu

2

Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

1.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Mặt cầu tâm bán kính là tập các điểm trong không gian cách một khoảng bằng .

Một điểm được gọi là nằm trong mặt cầu tâm bán kính nếu và được gọi là nằm ngoài mặt cầu đó nếu .

Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là một đường kính của mặt cầu.

Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.

Nhắc lại kiến thức

HĐ1.

Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Trong không gian , cho mặt cầu tâm bán kính (H.5.41). Khi đó, một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện gì?

Một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi

Giải

What is a Polygon?

01

Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính có phương trình

KẾT LUẬN

Chú ý:

• Điểm nằm trong mặt cầu nếu
• Điểm nằm ngoài mặt cầu nếu

Ví dụ 1: Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình

a) Xác định tâm và bán kính của .

b) Hỏi gốc toạ độ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Giải

a) Ta viết lại phương trình của mặt cầu dưới dạng:

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính .

b) Ta có .

Do đó, gốc toạ độ nằm ngoài mặt cầu

Luyện tập 1. Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình

a) Xác định tâm và bán kính của

b) Hỏi điểm nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Giải

Luyện tập 1. Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình

a) Xác định tâm và bán kính của

b) Hỏi điểm nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu ?

Vậy điểm nằm ngoài mặt cầu.

Giải

Giải

Ví dụ 2: Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

b) Đường kính , với và

Giải

Mặt cầu có tâm và bán kính

Luyện tập 2. Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính .

b) Đường kính , với

Giải

a) Phương trình mặt cầu tâm bán kính là

.

Luyện tập 2. Trong không gian , viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính .

b) Đường kính , với

b) Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của

Phương trình mặt cầu đường kính là:

Giải

Ví dụ 3: Trong không gian , cho là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình:

Chứng minh rằng là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Giải

Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

Hay

Vậy là mặt cầu có tâm và bán kính

Luyện tập 3. Trong không gian , cho là tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn phương trình: Chứng minh rằng là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Giải

Ta có:

Vậy là mặt cầu có tâm và .

Với là các hằng số, phương trình có thể viết lại thành và là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi . Khi đó, có tâm và bán kính .

Nhận xét:

Ví dụ 4: Trong không gian , phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ứng với phương trình đó.

a)

c)

Do đó phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Giải

Giải

bán kính

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu vì xuất hiện trong phương trình.

Luyện tập 4. Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình:

Xác định tâm và bán kính của

Giải

2.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

TRONG THỰC TIỄN

• Trong bài học này, ta xét Trái Đất trong không gian , với là tâm Trái Đất, tia chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia chứa điểm cực Bắc N, tia giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với 6 371 km trên thực tế. Như vậy, trong không gian , bề mặt Trái Đất có phương trình:
• Nếu biết vĩ độ và kinh độ của một vị trí trên mặt trái đất thì tọa độ của nó trong không gian cũng dễ dàng được xác định và ngược lại.
• Khoảng cách giữa hai vị trí và trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ của đường tròn có tâm và đi qua hai điểm . Cung tròn nói trên là đường đi ngắn nhất trên bề mặt Trái Đất từ đến .

Ví dụ 5: Biết rằng nếu vị trí có vĩ độ và kinh độ tương ứng là thì có toạ độ Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí đến vị trí

Giải

Ta có

Suy ra

Do đó

Giải

Vì thuộc mặt đất nên

Mặt khác, đường tròn tâm , đi qua có bán kính 1 và chu vi là ,

Do 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với 6 371 km trên thực tế, nên khoảng cách trên mặt đất giữa hai vị trí xấp xỉ bằng

(km).

Luyện tập 5. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

Giải

Vì là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên .

Do đó .

Luyện tập 5. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí

Giải

Vì thuộc mặt đất nên

Trải nghiệm. Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí đến vị trí và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.

Hướng

dẫn

Bước 1: Truy cập vào Google Maps.

Bước 2: Trên thanh tìm kiếm nhập 0°N, 0°E. Google Maps chuyển đến vị trí đó.

Bước 3. Nhấp vào vị trí đó và chuột phải chọn “Đo khoảng cách”.

Bước 4: Trên thanh tìm kiếm nhập 45°N, 30°E và nhấn enter. Google Maps đưa đến vị trí này.

Bước 5: Nhấp chuột vào vị trí này. Một đường thẳng hiện ra kèm thêm khoảng cách giữa hai vị trí này.

Từ đây ta thấy kết quả đo tương đối chính xác với kết quả tính ở luyện tập 5.

HOẠT ĐỘNG

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI

BỊT MẮT BẮT DÊ

Mai đang chơi trò bịt mắt bắt dê với các bạn, giúp Mai bắt các bạn bằng cách trả lời đúng các câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng, một bạn sẽ bị bắt và bị loại. Cùng giúp Mai loại hết 5 bạn nhé!

A. .

D. .

A. .

Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. .

D. .

Câu 2: Mặt cầu có tâm và bán kính là :

A. .

D. .

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình mặt cầu có tâm , bán kính là:

A. .

Câu 4: Trong không gian , cho điểm . Phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là :