Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM ĐẾN VỚI 
TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ 

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. ĐỊNH NGHĨA

• HĐ1: Cho hàm số với , có đồ thị như Hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu? Tìm sao cho .

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu? Tìm sao cho .

Giải:

a) Giá trị lớn nhất tại .

b) Giá trị nhỏ nhất tại .

Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập .

• Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi và tồn tại sao cho .

    Kí hiệu: hoặc .

• Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi và tồn tại sao cho .

    Kí hiệu hoặc .

Chú ý

• Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà không nói “trên tập ”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của trên tập xác định của      hàm số.
• Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập , ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập để kết luận.

Ví dụ 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Giải:

Tập xác định của hàm số là

Cách 1. Sử dụng định nghĩa.

Ta có:

• ; dấu bằng xảy ra khi , tức là khi hoặc .

Do đó

• ; dấu bằng xảy ra khi , tức là khi . 
• Do đó

Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

Từ bảng biến thiên, ta được:

Chú ý

• Trong thực hành, ta cũng dung các kí hiệu để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số trên tập . Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:

Ví dụ 2.

trên khoảng

Giải:

Từ bảng biến thiên, ta được: hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng

Ví dụ 3.

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải:

Gọi (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa. 

Điều kiện: . 

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được   một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (cm) và chiều cao bằng (cm). 

Thể tích của chiếc hộp này là ()

Ta có:

                          (thoả mãn điều kiện) hoặc (loại).

Lập bảng biến thiên

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

Luyện tập 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:     a)

Giải:

Tập xác định của hàm số là

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn :

Từ bảng biến thiên, ta được:

;

.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

Tính các giới hạn: 

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng :

Từ bảng biến thiên, hàm số không có GTLN và GTNN trên khoảng .

2. CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

• HĐ2: Xét hàm số trên đoạn với đồ thị như Hình 1.16.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

b) Tìm đạo hàm và tìm các điểm mà .

c) Tìm giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn và tại các điểm đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với , số lớn nhất trong các giá trị này với .

Giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Ta thấy:

Ghi nhớ

--------------- Còn tiếp ---------------