Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

+ Tính diện tích phần được tô màu trong hình vẽ sau:

+ Nêu một số công thức tính thể tích của các vật thể trong không gian đã học

KHỞI ĐỘNG

Trong phần Hình học ở Trung học cơ sở và lớp 11, chúng ta đã được học công thức tính thể tích của nhiều vật thể trong không gian như khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt đều, khối trụ, khối nón, khối cầu. Tuy nhiên, ta thường phải thừa nhận các công thức này.

KHỞI ĐỘNG

Bài học này sẽ cung cấp một phương pháp tổng giúp ta thiết lập một cách dễ dàng tất cả các công thức tính diện tích và thể tích đã được học trong Hình học, cũng như tính được diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể phức tạp hơn gặp trong thực tiễn.

BÀI 13.

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC

CỦA TÍCH PHÂN

Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

NỘI DUNG BÀI HỌC

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

• HĐ1. Nhận biết công thức tính diện tích

Trả lời:

a) Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .

Do đó .

Khi đó

Trả lời:

b)

Vậy

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

KẾT LUẬN

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (H.4.13).

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng , (H.4.14).

Giải:

 Diện tích hình phẳng cần tính là

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

Luyện tập 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đường thẳng , (H.4.15).

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng

• HĐ3. Nhận biết công thức tính diện tích

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng

a) Giả sử là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục hoành và hai đường thẳng , ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và đường thẳng , . Tính và từ đó suy ra .

b) Tính và so sánh với .

Trả lời:

a) Ta có

Do đó .

Trả lời:

b)

Vậy

KẾT LUẬN

Diện tich của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

CHÚ Ý

Nếu hiệu không đổi dấu trên đoạn thì

Diện tích hình phẳng cần tính là

Giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là

Giải:

Giải:

Luyện tập 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , và hai đường thẳng , .

Diện tích hình phẳng cần tính là

Vận dụng 1

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau của đồ thị hàm cầu và đồ thị hàm cung được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang và đường thẳng đứng là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang và đường thẳng đứng được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R. Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8th edition, Cengage Learning, 2009)

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: và hàm cung: , trong đó là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Giải:

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:

Tọa độ điểm cân bằng là .

Thặng dư tiêu dùng là:

(triệu đồng).

Giải:

Thặng dư sản xuất là:

(triệu đồng)

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

a) Tính thể tích của vật thể

• HĐ3: Nhận biết công thức tính thể tích vật thể

b) Tính diện tích mặt cắt khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là . Từ đó tính và so sánh với .

Trả lời:

a) Độ dài chiều cao hình trụ là: .

Thể tích của hình trụ là: . b) Diện tích mặt cắt khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục là . Ta có

Vậy

Công thức tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian . Gọi là phần vật thể giới hạn bới hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm có hoành độ . Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là .

Công thức tính thể tích vật thể

Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó thể tích của phần vật thể được cính bởi công thức

Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng .

Chọn trục song song với đường cao của khối lăng trụ và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với tại và .

Giải:

Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ bằng cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là .

Do đó, thể tích của khối lăng trụ là

Giải:

Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh và chiều cao là .

Giải:

Chọn trục sao cho gốc trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. Khi đó, đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với tại

Giải:

Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ bằng , cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là

Theo định lí Thalès, ta có , suy ra

Giải:

Do đó, diện tích của mặt cắt này là

Vậy thể tích của khối chóp này là

CHÚ Ý

Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.

Giải:

Vận dụng 2

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là , và chiều cao bằng (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng và chiều cao bằng .

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi lần lượt là khoảng cách từ đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là

Giải:

Mặt cắt của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là là một đa giác đều có diện tích

Khi đó

Giải:

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

Vì

Do đó Do đó thể tích khối chóp đều là . .

b) Tính thể tích khối tròn xoay

• HĐ4: Nhận biết công thức tính thể tích của khối tròn xoay

b) Tính thể tích khối tròn xoay

a) Tính thể tích của khối nón.

b) Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là , do đó diện tích mặt cắt là .

Tính và so sánh với .

Trả lời:

a) Ta có chiều cao của khối nón là , bán kính đáy là .

Do đó thể tích của khối nón là

Trả lời:

b) Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là .

Khi đó diện tích mặt cắt là

Ta có

Vậy

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn .

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Công thức tính thể tích của khối tròn xoay

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm được một hình tròn có bán kính . Thể tích của khối tròn xoay này là

Công thức tính thể tích của khối tròn xoay

Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (H.4.26).

Thể tích khối tròn xoay cần tính là

Giải:

Khối cầu bán kính có thể xem là vật thể sinh ra khi quay quanh trục hoành nửa hình tròn giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , (H.4.27).

Giải:

Do đó, thể tích của khối cầu bán kính là

Giải:

Giải:

Vận dụng 3

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông trong mặt phẳng với , và , quanh trục (H.4.28).

b) Từ công thức thu được ở câu a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng và chiều cao .

a) Chọn hệ trục như hình vẽ.

+) Ta có .

Suy ra

Giải:

Phương trình đường thẳng BC qua C và có vectơ pháp tuyến có dạng:

hay .

+) Thể tích của khối nón cụt là:

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------