Giáo án điện tử Toán 12 kết nối Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

CHÀO MỪNG CÁC EM

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Công thức xác suất trong Mục 1 sẽ trả lời cho ta câu hỏi đó.

Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,9; còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là 0,4. Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,75. Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.

CHƯƠNG VI.

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

BÀI 19. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

NỘI DUNG BÀI HỌC

CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

1

CÔNG THỨC

BAYES

2

1. CÔNG THỨC

XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

Gọi là biến cố “Trời mưa” và là biến cố “Bán hết vé” trong tình huống mở đầu.

a) Tính

b) Trong hai xác suất và , nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất nào nhất?

HĐ1.

Giải

Gọi là biến cố: “Trời mưa” và là biến cố: “Bán hết vé”

a) Ta có: ;

Lại có, nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4 nên

Nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9 nên .

b) Nhà tổ chức quan tâm tới nhất.

Cho hai biến cố và . Khi đó, ta có công thức sau:

Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.

KẾT LUẬN

Ví dụ 1: Ông An hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là 0,7. Xét một tuần mà thứ Hai ông An đi làm bằng xe buýt. Tính xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông An đi làm bằng xe máy.

Gọi là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy”; là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”. Ta cần tính .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Giải

• Tính : Vì thứ Hai, ông An đi làm bằng xe buýt nên xác suất để thứ Ba (hôm sau), ông đi làm bằng xe máy là 0,4. Vậy
• Tính : Ta có
• Tính Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy.

Giải

• Tính Đây là xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe buýt.

Giải

Luyện tập 1.

Trở lại tình huống mở đầu Mục 1. Tính xác suất để nhà tổ chức sự kiện bán hết vé.

Giải

Từ kết quả của HĐ1, áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được:

.

Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

Chú ý:

Trở lại Ví dụ 1. Kí hiệu là biến cố: “Thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy”; là biến cố: “Thứ Tư, ông An đi làm bằng xe máy”.

Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và ;

Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

Chú ý:

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và ;

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và

Có hai nhánh cây đi tới là và . Vậy

Giải

Gọi là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”.

Khi đó, biến cố là “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe buýt”.

Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau:

Luyện tập 2. Trở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt.

Hai nhánh cây đi tới là và .

Như vậy

Luyện tập 2. Trở lại Ví dụ 1. Sử dụng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt.

Giải

Vận dụng.

Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: hạt trơn và hạt nhăn, có hai gene ứng với hai kiểu hình này là gene trội B và gene lặn b. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một cách độc lập một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. Giả sử cây bố và cây mẹ được chọn ngẫu nhiên từ một quần thể các cây đậu Hà Lan, ở đó tỉ lệ cây mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%. Tính xác suất để cây con có kiểu gene bb.

Hướng dẫn

Gọi là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”; là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây bố”; là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây mẹ”; là biến cố: “Cây con có kiểu gene bb”.

Theo giả thiết, và độc lập nên

Tính : Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:

Ta có

là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó

là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố

Thay vào ta được:

Tương tự tính được

Vậy

Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%, thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng 49%.

Hướng dẫn

Luyện tập 3. Với giả thiết như vận dụng trên.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene BB.

b) Sử dụng kết quả của vận dụng trên và câu a, hãy ước lượng tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb.

Giải

a) Gọi là biến cố: “Cây con nhận gene B từ bố”; là biến cố: “Cây con nhận gene B từ mẹ”; là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”.

Theo giả thiết, và độ lập nên .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

Giải

là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene bb. Vậy .

là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu

Từ đó ta có

Tương tự, ta cũng có .

.

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gên BB là khoảng 9%.

Giải

b) Gọi là biến cố: “Cây con có kiểu gene Bb”.

Vì và hai biến cố xung khắc nên

Vậy

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là khoảng 42%.

2. CÔNG THỨC

BAYES

Trong Y học, để chẩn đoán bệnh X nào đó, người ta thường dùng một xét nghiệm. Xét nghiệm dương tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người mắc bệnh X. Xét nghiệm âm tính, tức là xét nghiệm đó kết luận một người không mắc bệnh X.

Vì không có một xét nghiệm nào tuyệt đối đúng nên trên thực tế có thể xảy ra hai sai lầm sau:

• Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.
• Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.

Phân biệt và

Trong tình huống mở đầu Mục 2, gọi là biến cố: “Ông M mắc bệnh hiểm nghèo X”; là biến cố: “Xét nghiệm cho kết quả dương tính”.

a) Nêu các nội dung còn thiếu tương ứng với “(?)” để hoàn thành các câu sau đây:

• là xác suất để (?) với điều kiện (?);
• là xác suất để (?) với điều kiện (?).

HĐ2.

a) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

b) Nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính, tức là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện người đó mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,95.

Do đó

Vậy không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.

Giải

Cho và là hai biến cố, với . Khi đó, ta có công thức sau:

Công thức trên có tên là công thức Bayes.

KẾT LUẬN

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng:

Chú ý:

Ý nghĩa của công thức Bayes:

Một nhà nghiên cứu quan tâm đến xác suất xảy ra của biến cố . Theo tính toán ban đầu có xác suất là . Sau đó, nhà nghiên cứu có được thông tin rằng: “Biến cố đã xảy ra”. Với thông tin mới này, nhà nghiên cứu sẽ cập nhật hiểu biết của mình về khả năng xảy ra biến cố , bằng cách tính , xác suất của khi biết đã xảy ra. Công thức Bayes giúp ta tính

Ví dụ 2: Trong một kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, một tỉnh X có 80% học sinh lựa chọn tổ hợp A00 (gồm các môn Toán, Vật lí, Hóa học). Biết rằng, nếu một học sinh chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,6; còn nếu một học sinh không chọn tổ hợp A00 thì xác suất để học sinh đó đỗ đại học là 0,7. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên. Biết rằng học sinh này đã đỗ đại học. Tính xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00.

Gọi là biến cố: “Học sinh đó chọn tổ hợp A00”;

là biến cố: “Học sinh đó đỗ đại học”.

Ta cần tính

Theo công thức Bayes, ta cần biết: và

Giải

Ta có:

là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó chọn tổ hợp A00

là xác suất để một học sinh đỗ đại học với điều kiện học sinh đó không chọn tổ hợp A00

Thay vào công thức Bayes ta được:

Giải

Luyện tập 4. Trong một kho rượu có 30% là rượu loại I. Chọn ngẫu nhiên một chai rượu đưa cho ông Tùng, một người sành rượu, để nếm thử. Biết rằng, một chai rượu loại I có xác suất 0,9 để ông Tùng xác nhận là loại l; một chai rượu không phải loại I có xác suất 0,95 để ông Tùng xác nhận đây không phải là loại I. Sau khi nếm, ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I. Tính xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I.

Giải

Gọi là biến cố: “Chai rượu là rượi loại I”; là biến cố: “Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I”.

Bài toán yêu cầu tính .

Ta có:

.

Giải

là xác suất để một chai rượu loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.

Theo đề bài, ta có

là xác suất để một chai rượu không phải loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.

Theo đề bài, ta có .

Áp dụng công thức Bayes ta được:

Vậy xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I là khoảng