Giáo án điện tử Toán 12 cánh diều Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

CHÀO MỪNG

TẤT CẢ CÁC EM

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi , trong đó tính bằng giây và tính bằng centimet/giây. Tại thời điểm , con lắc đó ở vị trí cân bằng.

Phương trình chuyển động của con lắc đó được xác định bằng cách nào?

CHƯƠNG IV:

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

BÀI 2: NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

I. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

III. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

NỘI DUNG BÀI HỌC

IV. nguyên hàm của hàm số mũ

I. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

Cho số thực . Hàm số được gọi là hàm số lũy thừa.

Ví dụ:

Tập xác định của hàm số lũy thừa tùy thuộc vào giá trị của . Cụ thể như sau:

• Với nguyên dương, tập xác định là
• Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là
• Với không nguyên, tập xác định là .

1. Hàm số lũy thừa

ĐỊNH LÍ:

Hàm số lũy thừa () có đạo hàm với mọi và .

hay không?

2. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

HĐ1

Giải:

Vậy hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

KẾT LUẬN

Ví dụ 1: Tìm

Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

Luyện tập 1

Luyện tập 2

II. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

a) Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng

b) Tính đạo hàm của hàm số trên khoảng

HĐ2

Giải:

a) Với thì . Do đó, .

b) Với thì . Do đó, .

KẾT LUẬN

Ví dụ 3:

Giải:

Giải:

Luyện tập 3

III. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

a) Hàm số có là nguyên hàm của hàm số hay không?

b) Hàm số có là nguyên hàm của hàm số hay không?

c) Với hàm số có là nguyên hàm của hàm số

HĐ3

Giải:

a) Ta có:

Vậy hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

b) Ta có:

Vậy hàm số là một nguyên hàm của hàm số .

Giải:

KẾT LUẬN

Ví dụ 4:

Ví dụ 5: Tìm

Giải:

a)

Luyện tập 4

b)

Luyện tập 5

Ví dụ 6:

Giải:

Giả sử con lắc chuyển động theo phương trình: Suy ra do đó là một nguyên hàm của . Ta có:

Suy ra

Tại thời điểm , ta có , tức là , hay

Vậy phương trình chuyển động của con lắc là:

IV. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ

nguyên hàm của hàm số

HĐ4

Giải:

Với , ta có:

KẾT LUẬN

Với , ta có:

Nhận xét: .

Ví dụ 7:

Giải:

Luyện tập 6

Ví dụ 8: Một xe ô tô đang chạy với tốc độ 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 80 m. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ (m/s), trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi là quãng đường xe ô tô đi được trong (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Lập công thức biểu diễn hàm số .

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu giây?

c) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là bao nhiêu mét? Xe ô tô liệu có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật trên đường hay không?

Giải:

a) Ta đã biết, công thức tính quãng đường xe ô tô đi được trong (giây) là một nguyên hàm của hàm . Do

nên ta có: với là hằng số nào đó. Do nên . Suy ra

b) Xe ô tô dừng hẳn khi , tức là hay

Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là giây.

c) Ta có: tốc độ km/h cũng là tốc độ m/s.

Do đó, quãng đường xe ô tô còn di chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là:

(m).

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là:

(m).

Do nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.

Vì thế, tai nạn đã không xảy ra đối với xe ô tô đó.

Giải:

Ví dụ 9: Mực nước trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên) (Hình 2). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số

trong đó tính bằng giờ , tính bằng mét/giờ. Tại thời điểm , mực nước trong hồ chứa là m.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số

b) Mực nước trong hồ chứa cao nhất và thấp nhất bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

c) Mực nước trong hồ chứa thay đổi nhanh nhất khi nào? Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa khi đó là bao nhiêu?

Giải:

Tại thời điểm , mực nước trong hồ chứa là m nên , suy ra

Vậy mực nước trong hồ chứa được cho bởi hàm số:

Giải:

b) Ta tìm và

hoặc

Bảng biến thiên:

Do đó, ta có:

Vậy mực nước trong hồ chứa cao nhất khoảng m và thấp nhất khoảng m.

c) Ta tìm

Bảng biến thiên của hàm số

Giải:

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------