Giáo án điện tử Toán 12 cánh diều Bài 1: Nguyên hàm

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị ) tại thời điểm (tính theo giây) được cho bởi công thức

Quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?

CHƯƠNG IV:

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Khái niệm nguyên hàm

II. Tính chất của nguyên hàm

I.

KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM

HĐ1

Cho hàm số . Tính

Giải:

Cho hàm số . Do với mọi nên hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên khoảng .

Kết luận

Kí hiệu là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của .

Cho hàm số xác định trên . Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Ví dụ 1: Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận sau:

b) Hàm số là nguyên hàm của hàm số trên .

Giải:

b) Hàm số là nguyên hàm của hàm số trên vì với mọi

Ví dụ 1: Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận sau:

b) Hàm số là nguyên hàm của hàm số trên .

Giải:

Luyện tập 1

Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Giải:

HĐ2

a) Cả hai hàm số và có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

b) Hiệu có phải là một hằng số (không phụ thuộc vào ) hay không?

Cho hàm số và

Giải:

a) Ta có:

Do đó, cả hai hàm số và là nguyên hàm của hàm số trên .

HĐ2

a) Cả hai hàm số và có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

b) Hiệu có phải là một hằng số (không phụ thuộc vào ) hay không?

Cho hàm số và

Giải:

b) Ta có:

là một hằng số .

Tổng quát

Cho là một khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn của tập số thực .

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên . Khi đó:

a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của hàm số trên thì tồn tại hằng số sao cho với mọi thuộc .

Ví dụ 2: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số trên .

Giải:

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số đều có dạng , với là một hằng số.

Luyện tập 2

Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số trên

Giải:

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số đều có dạng , với là một hằng số.

Kết luận

Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số trên được kí hiệu là

Chú ý: Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .

• Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì mọi nguyên hàm của hàm số trên đều có dạng với là một hằng số. Vì vậy,
• Mọi hàm số liên tục trên đều có nguyên hàm trên .

Nhận xét:

Chứng tỏ rằng:

a) với là hằng số thực.

a) Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên

Vậy

Giải:

Giải:

Nhận xét:

và nếu ta quy ước thì .

Luyện tập 3

Giải:

nguyên hàm của hàm số trên .

II. TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

HĐ3

Cho là hàm số liên tục trên , là hằng số thực khác .

a) Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên . Hỏi có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

b) Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên . Đặt trên . Hỏi có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

c) Nêu nhận xét về và

Giải:

a) Vì là một nguyên hàm của hàm số trên nên .

Suy ra

Vì là hằng số thực khác nên .

Do đó,

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì là một nguyên hàm của hàm số trên nên

.

Lại có , lấy đạo hàm hai vế ta được .

Từ đó suy ra , tức là .

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên

Giải:

c) Từ câu a, ta có:

Lại có suy ra

Vì tùy ý thuộc và nên tùy ý thuộc .

Do đó,

Từ (1) và (2), Suy ra .

Giải:

Tính chất 1

với là hằng số khác .

Cho là số nguyên dương.

b) Cho là hằng số thực khác không. Tính .

Giải:

trên .

Cho là số nguyên dương.

b) Cho là hằng số thực khác không. Tính .

Giải:

b) Ta có:

Luyện tập 4

Chứng tỏ rằng với là số nguyên dương.

Giải:

Do nên là một nguyên hàm của hàm số trên .

Vậy .

HĐ4

Cho là hàm số liên tục trên , là hằng số thực khác .

a) Giả sử lần lượt là nguyên hàm của các hàm số trên . Hỏi có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

b) Giả sử lần lượt là nguyên hàm của các hàm số , trên . Đặt trên . Hỏi có phải là nguyên hàm của hàm số trên hay không?

c) Nêu nhận xét về và

Giải:

a) Vì lần lượt là nguyên hàm của các hàm số trên nên ta suy ra .

Do đó,

Mà nên .

Từ đó suy ra là một nguyên hàm của hàm số trên .

Giải:

b) Vì lần lượt là nguyên hàm của các hàm số , trên nên ta suy ra .

Ta có

Suy ra

.

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên .

Giải:

c) Từ câu a, ta suy ra (1)

Lại có:

Vì là các hằng số tùy ý trên nên ta có tùy ý trên .

Do đó, (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Tính chất 2

Giải:

Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức (m/s).

a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian .

b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất?

Giải:

a) Gọi là độ cao của quả bóng tại thời điểm ( tính theo mét, tính theo giây).

Suy ra: do đó là một nguyên hàm của

Ta có:

Giải:

Suy ra

Mà quả bóng được ném lên từ độ cao tức là tại thời điểm thì hay . Suy ra

Vậy công thức tính độ cao của quả bóng tại thời điểm là:

b) Khi quả bóng chạm đất thì . Ta có: .

Giải phương trình ta được . Mà nên .

Vậy sau giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất.

Luyện tập 5

Tìm:

Ta có:

Giải:

LUYỆN TẬP

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------