Giáo án điện tử Toán 12 cánh diều Bài 3: Tích phân

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 3 (Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet).

Làm thế nào để tính diện tích của logo?

KHỞI ĐỘNG

CHƯƠNG IV:

NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN

BÀI 3: TÍCH PHÂN

I

Định nghĩa tích phân

Tính chất của tích phân

Tích phân của một số hàm số sơ cấp

NỘI DUNG BÀI HỌC

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Cho hàm số . Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho và (Hình 4). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng .

1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân

HĐ1

Chia đoạn thành phần bằng nhau bởi các điểm chia:

1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân

HĐ1

a) Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao là .

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao là .

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao là .

...

Tính diện tích của hình chữ nhật dựng trên đoạn với chiều cao là .

b) Đặt .

Chứng minh rằng:

Tổng gọi là tổng tích phân cấp của hàm số trên đoạn

Giải:

….

Giải:

Ta có:

Kết luận

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn . Hình phẳng gồm các điểm có tọa độ sao cho và được gọi là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng

Bằng cách chia đoạn thành phần bằng nhau, ta lập được tổng tích phân cấp của hàm số trên đoạn là:

Nhận xét:

Người ta chứng minh được rằng với là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn . Hiệu được gọi là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng .

Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số Xét hình thang vuông giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và hai đường thẳng (Hình 7).

a) Tính diện tích hình thang vuông

b) Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn Tính Từ đó hãy chứng tỏ rằng

Giải:

a) Ta có:

Giải:

trên đoạn

Vậy

Luyện tập 1

Cho đồ thị hàm số Xét tam giác vuông giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục và đường thẳng .

a) Tính diện tích tam giác vuông

b) Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn Tính Từ đó hãy chứng tỏ rằng

Giải:

a) Ta có:

b) Ta có:

Suy ra là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

Ta có:

Vậy .

b) Chứng minh rằng tức là hiệu số không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm.

2. Định nghĩa tích phân

HĐ2

Cho hàm số

Giải:

a) Ta có:

Suy ra là các nguyên hàm của hàm số .

b) Ta có:

Suy ra .

Định nghĩa

Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn .

Hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu là .

Chú ý:

• Kí hiệu và đọc là thế cận từ đến .
• Ta quy ước: .

Ví dụ 2: Tính:

Giải:

Luyện tập 2

Tính:

Chú ý:

Tích phân của hàm số từ đến chỉ phụ thuộc vào và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay , nghĩa là .

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

HĐ3

Giải:

Tính chất 1

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó:

Giải:

Luyện tập 3

Giải:

HĐ4

So sánh: a) và

b) và

a) Ta có:

Suy ra

Giải:

HĐ4

So sánh: a) và

b) và

b)

Suy ra

Giải:

Tính chất 2

Cho các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có:

Giải:

Luyện tập 4

Giải:

HĐ5

Ta có:

Suy ra .

Giải:

Tính chất 3

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là số thực tùy ý thuộc đoạn . Khi đó, ta có:

Giải:

Ta có:

Luyện tập 5

Giải:

Ta có:

TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP

1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với , ta có:

Nhận xét:

Ví dụ 6: Tính:

Giải:

Giải:

Luyện tập 6

Tính:

Nhận xét:

Ví dụ 7: Tính:

Luyện tập 7

Tính:

Giải:

3. Tích phân của hàm số lượng giác

Nhận xét:

3. Tích phân của hàm số lượng giác

Ví dụ 8: Tính:

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------