Giáo án điện tử Toán 12 cánh diều Bài 1: Xác suất có điều kiện

CHÀO MỪNG CÁC EM

QUAY LẠI VỚI

MÔN HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Xác suất của biến có A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính như thế nào?

Một lớp học có 17 học sinh nữ và 13 học sinh nam. Ở lớp học đó, có 3 học sinh tên là Thanh , trong đó có 1 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh lên bảng. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh”.

B: “Học sinh được gọi lên bảng là học sinh nữ”

CHƯƠNG VI: MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT

BÀI 1: XÁC SUẤT

CÓ ĐIỀU KIỆN

NỘI DUNG BÀI HỌC

I

Định nghĩa xác suất có điều kiện

II

Sử dụng sơ đồ hình cây để tính xác suất có điều kiện

I.

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

HĐ1.

a) Xác suất để học sinh được gọi lên bảng có tên là Thanh, biết rằng học sinh đó là nữ;

Trong bài toán ở phần mở đầu, hãy tính:

a) Số cách chọn 1 học sinh nữ là 17. Vì chỉ có 1 bạn nữ tên là Thanh nên

Giải

b) Do số cách chọn ngẫu nhiên 1 bạn là 30 và có 17 bạn nữ nên:

Biến cố : “Học sinh được gọi lên bảng có tên Thanh và là học sinh nữ”.

Do số cách chọn ngẫu nhiên 1 bạn là 30 và chỉ có 1 bạn nữ tên Thanh nên

Giải

Cho hai biến cố và . Xác suất của biến cố với điều kiện biến cố đã xảy ra được gọi là xác suất của với điều kiện , kí hiệu là .

KẾT LUẬN

• Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu thì
• Người ta chứng minh được rằng: Nếu là hai biến cố bất kì thì

Nhận xét:

Ví dụ 1: Cho hai biến cố có ; ; Tính các xác suất sau:

Giải

Ví dụ 2: Trong kì kiểm tra môn Toán của một trường trung học phổ thông có 200 học sinh tham gia, trong đó có 95 học sinh nam và 105 học sinh nữ. Khi công bố kết quả của kì kiểm tra đó, có 50 học sinh đạt điểm giỏi, trong đó có 24 học sinh nam và 26 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 200 học sinh đó. Tính xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giải

Xét hai biến cố sau: : “Học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi”;

: “Học sinh được chọn ra là học sinh nữ”.

Khi đó, xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, chính là xác suất của với điều kiện .

Giải

Vậy xác suất để học sinh được chọn ra đạt điểm giỏi, biết rằng học sinh đó là nữ, là 0,25.

Nhận xét:

Luyện tập 1. Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Giải

Xét hai biến cố sau:

: “Lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ”;

: “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh”.

Xác suất để chọn được 1 quả bóng màu xanh ở lần thứ nhất là:

Luyện tập 1. Một hộp có 6 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng trong hộp, lấy không hoàn lại. Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được quả bóng màu đỏ, biết rằng lần thứ nhất đã lấy được quả bóng màu xanh.

Giải

Biến cố : “Lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh và lần thứ hai lất được quả bóng màu đỏ”.

Ví dụ 3: Trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu của một doanh nghiệp dệt may có 1 000 áo sơ mi trắng. Các áo sơ mi trắng đó gồm ba cỡ: 40, 41, 42, trong đó có 200 áo cỡ 40. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu. Giả sử chiếc áo sơ mi được chọn ra là áo sơ mi trắng. Tính xác suất để chiếc áo sơ mi đó có cỡ 40.

Xét hai biến cố sau: : “Áo được chọn ra có cỡ 40” ;

: “Áo được chọn ra là áo sơ mi trắng”.

Khi đó, xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40, biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, chính là xác suất có điều kiện .

Giải

Ví dụ 3: Trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu của một doanh nghiệp dệt may có 1 000 áo sơ mi trắng. Các áo sơ mi trắng đó gồm ba cỡ: 40, 41, 42, trong đó có 200 áo cỡ 40. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc áo trong 10 000 áo sơ mi xuất khẩu. Giả sử chiếc áo sơ mi được chọn ra là áo sơ mi trắng. Tính xác suất để chiếc áo sơ mi đó có cỡ 40.

Vậy xác suất để chiếc áo sơ mi được chọn ra có cỡ 40, biết rằng chiếc áo sơ mi đó là áo sơ mi trắng, là 0,2.

Giải

Luyện tập 2. Trong hộp đựng 500 chiếc thẻ cùng loại có 200 chiếc thẻ màu vàng. Trên mỗi chiếc thẻ màu vàng có ghi một trong năm số: 1, 2, 3, 4, 5. Có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5. Chọn ra ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp đựng thẻ. Giả sử chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng. Tính xác suất để chiếc thẻ đó ghi số 5.

Giải

Xét hai biến cố sau:

: “Chiếc thẻ được chọn ra ghi số 5”;

: “Chiếc thẻ được chọn ra có màu vàng”.

Do có 40 chiếc thẻ màu vàng ghi số 5 và 200 thẻ màu vàng nên:

Ví dụ 4: Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 9 000, trong số đó có 1 500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 7 500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1 500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 76% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Mặt khác, trong 7 500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 7% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính khi kiểm tra.

a) Chọn số thích hợp cho trong Bảng 1 (đơn vị: người). So sánh số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm với số người bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết.

?

b) Chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Nhà sản xuất khẳng định dụng cụ cho kết quả đúng với hơn 90% số trường hợp có kết quả dương tính. Khẳng định đó có đúng không?

Giải

• Trong 1 500 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 76% . 1 500 = 1 140 (người).
• Trong 7 500 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, số người cho kết quả dương tính (khi kiểm tra) là: 7% . 7 500 = 525 (người). Do đó, số người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết cho kết quả âm tính (khi kiểm tra) là: 7 500 – 525 = 6 975 (người).

a

Giải

Từ đó, Bảng 1 được hoàn thiện bởi Bảng 2 (đơn vị: người).

a)

Từ Bảng 2 ta thấy số người có kết quả dương tính khi thử nghiệm là:

525 + 1 140 = 1 665 > 1 500.

Bảng 2

Giải

: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết”;

B: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả dương tính (khi kiểm tra)”.

Từ các dữ liệu thống kê ở Bảng 2, ta có:

c) Do nên khẳng định của nhà sản xuất là không đúng.

b) Xét các biến cố sau:

Luyện tập 3. Với các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải

Xét các biến cố sau:

: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm là bị nhiễm sốt xuất huyết”;

: “Người được chọn ra trong số những người thử nghiệm cho kết quả âm tính”.

Luyện tập 3. Với các giả thiết như ở Ví dụ 4, chọn ngẫu nhiên một người trong số những người thử nghiệm. Tính xác suất để người được chọn ra bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết rằng người đó có kết quả thử nghiệm âm tính (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải

Ta có:

Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập:

Cho và là hai biến cố với , . Khi đó, và là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

và .

Chú ý

Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nhận xét:

II.

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ HÌNH CÂY ĐỂ TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

HĐ2.

Bác An cưa một khúc gỗ thành ba khối nhỏ. Mỗi khối nhỏ được sơn bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bác An có thể sơn màu cho khúc gỗ đó.

Giải

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Ví dụ 5: Một hộp có 8 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Có 5 viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có 3 viên bi màu đỏ và 2 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để viên bi được lấy ra có màu đỏ, biết rằng viên bi đó được đánh số.

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------