Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Khi ta gõ trống, gảy đàn, thổi sáo hay mở miệng ra nói chuyện, tai ta sẽ nghe và cảm nhận được âm thanh phát ra. Vật tạo ra âm thanh được gọi là nguồn phát âm, hay nguồn âm. Âm thanh là dao động cơ lan truyền trong môi trường và tai ta cảm nhận được. Âm thanh nói riêng và các dao động cơ nói chung không lan truyền qua chân không vì không có gì để truyền sóng. Âm thanh là phương tiện trao đổi thông tin, liên lạc với nhau phổ biến nhất của con người, bên cạnh phương tiện hình ảnh. Như vậy nghiên cứu âm thanh có hai mặt: Đặc trưng vật lý (lý tính) và đặc trưng sinh học. Vật lý khách quan: nguồn tạo ra âm thanh, tính chất lan truyền, đặc tính âm thanh.

Nếu ta biểu diễn tín hiệu của âm thanh trên gắn vào hệ trục tọa độ như hình vẽ trên ( giả thiết [a; d], [b; c] là các tập đối xứng và a = 2b)

- Em có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên các đoạn [a; b], [b; 0], [0; c], [c; d]?

- Liệu có xác định đồ thị trên là đồ thị của hàm số nào mà chúng ta đã được học không?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LE, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Hoạt động 1: Hàm số chẵn, hàm số lẻ.

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ1 theo hướng dẫn trong SGK.
• Nêu khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ.
• Lưu ý về trục và tâm đối xứng của đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ.
• Hoàn thành luyện tập 1.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1

a) Hàm số

+ Với ta có:

Do đó

+ Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

b) Hàm số

+ Với , ta có: và .

Do đó .

+ Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

=> Ta nói hàm số là hàm số chẵn; hàm số là hàm số lẻ.

Khái niệm

Cho hàm số với tập xác định D.

+ Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu thì và .

+ Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu thì và .

Chú ý

- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.22).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.22).

Luyện tập 1

a) Xét hàm số có tập xác định . 

thì , ta có: 

Do đó hàm số là hàm số lẻ.

b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

Hoạt động 2: Hàm số tuần hoàn.

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ2 theo hướng dẫn trong SGK.
• Nêu định nghĩa về hàm số tuần hoàn và chu kì của hàm số tuần hoàn.
• Hoàn thành luyện tập 2

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2

a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a] có dạng giống nhau.

b) Ta có:

Định nghĩa:

Cho hàm số với tập xác định D. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi , ta có:

• và .

•

Số T nhỏ nhất thỏa mãn (nếu có) các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Ví dụ 2: (SGK – tr.23).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.24).

Luyện tập 2

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Chứng minh:

có tập xác định trên .

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Nhận xét

Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a – T; a]).

2. HÀM SỐ Y = SIN X

Hoạt động 1: Định nghĩa.

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ3 theo hướng dẫn trong SGK.
• Thế nào là hàm số y = sinx?
• Tập xác định của hàm số y = sinx là gì?

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3

Giả sử tung độ của điểm M là y.

Khi đó ta có sinx = y.

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị .

Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực được gọi là hàm số .

Tập xác định của hàm số là .

Hoạt động 2: Đồ thị của hàm số

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Hoàn thành HĐ4 theo hướng dẫn trong SGK.

HĐ4

Sản phẩm dự kiến:

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = sinx ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm với  trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số trên đoạn .

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn , ta có đồ thị hàm số trên được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Hoạt động 3: Tính chất của hàm số .

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ5 theo hướng dẫn trong SGK.
• Nêu tính chất của hàm số y=sinx.
• Hoàn thành luyện tập 3. 
• Quan sát đồ thị hàm số, tại những giá trị x nào thì sin x = 0? Vậy tập hợp số thực của x để là tập hợp nào?

HĐ5

Sản phẩm dự kiến:

a) Tập giá trị của hàm số là [-1; 1].

b) Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số là hàm số lẻ.

c)

 ‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số trên đoạn song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài , ta sẽ nhận được đồ thị hàm số trên đoạn .

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì .

- Xét hàm số trên , với và .

+ và .

+ .

Do đó hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

d) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Ta có: ; ; ….

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng với .

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 

Ta có: ; …

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng với .

Tính chất

+ Hàm số là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ;

+ Hàm số tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng với .

Ví dụ 3: (SGK – tr.25).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23).

Luyện tập 3

Do  

nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

Nhận xét

Dựa vào đồ thị của hàm số (hình 24), ta thấy tại những giá trị . Vì vậy, tập hợp các số thực x sao cho là .

3. HÀM SỐ Y = COS X

Hoạt động 1: Định nghĩa

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ6 theo hướng dẫn trong SGK.
• Thế nào là hàm số y=cosx?
• Tập xác định của hàm số y=cosx là gì?

Sản phẩm dự kiến:

HĐ6

Giả sử hoành độ của điểm M là y.

Khi đó ta có .

=> Ứng với mỗi số thực x, có duy nhất một giá trị .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với một số thực được gọi là hàm số .

Tập xác định của hàm số là .

Hoạt động 2: Đồ thị của hàm số .

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Hoàn thành HĐ7 theo hướng dẫn trong SGK.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ7

a) Thay từng giá trị của x vào hàm số y = cos x ta có bảng sau:

b) Lấy thêm một số điểm với  trong bảng sau và nối lại ta được đồ thị hàm số trên đoạn .

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn ta có đồ thị hàm số trên được biểu diễn ở hình vẽ sau:

Hoạt động 3: Tính chất của hàm số .

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ8 theo hướng dẫn trong SGK.
• Nêu tính chất của hàm số y=cosx
• Hoàn thành luyện tập 4

Sản phẩm dự kiến:

HĐ8

a) Tập giá trị của hàm số y = cos x là [‒1; 1].

b) Trục tung là trục đối xứng của đồ thị hàm số.

Do đó hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

c) 

‒ Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số trên đoạn [‒π; π] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài 2π, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số trên đoạn [π; 3π].

Làm tương tự như trên ta sẽ được đồ thị hàm số trên ℝ.

‒ Xét hàm số trên ℝ, với và ta có:

• và ;

•

Do đó hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì .

d) Quan sát đồ thị hàm số ta thấy:

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

Ta có:

…

Do đó ta có thể viết hàm số đồng biến trên mỗi khoảng với .

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

Ta có:

Do đó ta có thể viết hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng với .

Tính chất

+ Hàm số là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.

+ Hàm số tuần hoàn chu kì .

+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên mỗi khoảng với .

Ví dụ 4: (SGK – tr.27).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.27).

Luyện tập 4

Do nên hàm số nghịch biến trên khoảng .

4. HÀM SỐ Y = TAN X

Hoạt động 1: Định nghĩa

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Hoàn thành HĐ9 theo hướng dẫn trong SGK.
• Thế nào là hàm số y=tanx?
• Tập xác định của hàm số y=tanx là gì?

Sản phẩm dự kiến:

HĐ9

Nếu , tức

Hay thì ta có: .

Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực với một số thực được gọi là hàm số .

Tập xác định của hàm số là 

Hoạt động 2: Đồ thị hàm số

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Hoàn thành HĐ10 theo hướng dẫn trong SGK.

HĐ10

………………. Còn tiếp ……………………..