Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

                   BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 32). Độ cao h (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km; 250 km; 100 km?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Phương trình tương đương

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Điều kiện xác định của phương trình là gì?
• Thực hiện HĐ1.
• Phương trình tương đương là gì?
• Hoàn thành luyện tập 1.
• Thực hiện hoạt động 2.
• Nêu Định lí về một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.
• Hoàn thành luyện tập 2

Sản phẩm dự kiến:

- Một phương trình với ẩn x có dạng f(x) = g(x), trong đó vế trái f(x) và vế phải g(x) là hai biểu thức của cùng một biến x. Khi giải phương trình này, ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

HĐ1

a) Ta có: (1)

  Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S₁ = {1; 2}. 

Ta có:

(2)

  Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S₂ = {1; 2}.

b) Hai tập S₁, S₂ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Định nghĩa

Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình đương đương với phương trình thì ta viết .

Ví dụ 1: (SGK – tr.32).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.32,33).

Luyện tập 1

+ Ta có:

Tập nghiệm của phương trình là .

+ Ta có:

ĐKXĐ:

Tập nghiệm của phương trình là .

=> Ta thấy nên hai phương trình trên tương đương.

HĐ2

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S₁ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S₂ = {2}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết

Vậy khẳng định là chính xác.

Định lí

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Luyện tập 2

Ta có: (x – 1)² = 5x – 11.

⇔ x² – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x² – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x² – 7x + 12 = 0

⇔

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.

Hoạt động 2: Phương trình sin x = m

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện hoạt động 3.
• Nêu công thức nghiệm của phương trình sinx=m.
• Hoàn thành luyện tập 3 và luyện tập 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3

a) Với ta thấy tại và .

Do đó đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số tại hai giao điểm A₀, B_0­ có hoành độ lần lượt là và .

b) Với ta thấy tại và .

Do đó đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số tại hai giao điểm A₁, B_1­ có hoành độ lần lượt là và .

Nhận xét

Phương trình có các nghiệm là:

Công thức nghiệm

+ Với , phương trình vô nghiệm.

+ Với , gọi là số thực thuộc đoạn sao cho . Khi đó, ta có: 

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình :

+ ;

+ ;

+

b) Ta có

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho như sau:

Ví dụ 3: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 3

a) Do nên

b)

Ví dụ 4: (SGK – tr.35).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

Luyện tập 4

Ta có:

Hoạt động 3: Phương trình cos x = m

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện hoạt động 4.
• Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình cosx=m
• Hoàn thành luyện tập 5 và luyện tập 6

Sản phẩm dự kiến:

HĐ4

a) Với ta thấy tại và .

Do đó đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số tại hai giao điểm C₀, D_0­ có hoành độ lần lượt là và .

b) Với ta thấy tại và

Do đó đường thẳng d: cắt đồ thị hàm số tại  hai giao điểm C₁, D_1­ có hoành độ lần lượt là và

Nhận xét:

Phương trình có các nghiệm là: 

Công thức nghiệm

+ Với , phương trình vô nghiệm.

+ Với , gọi là số thực thuộc đoạn sao cho . Khi đó, ta có:

Chú ý

a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình

+  

+  

+  

b) Ta có

c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho như sau: 

Ví dụ 5: (SGK – tr,36).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36).

Luyện tập 5

a) Do nên

b) 

Ví dụ 6: (SGK – tr.37).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.37).

Luyện tập 6

+) Ta có:

Vậy phương trình này có các nghiệm là t = 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

+) Ta có:

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 2,3).

Vậy phương trình có các nghiệm là và với

+) Ta có:

Vậy phương trình có các nghiệm là t = 50 + 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

Hoạt động 4: Phương trình tan x = m

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện hoạt động 5.
• Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình tanx=m.
• Hoàn thành luyện tập 7.

HĐ5

Sản phẩm dự kiến:

a) Với ta thấy tại .

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số trên khoảng tại điểm có hoành độ là .

Do hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại các điểm có hoành độ là .

b) Phương trình có các nghiệm là:

.

Công thức nghiệm:

Gọi là số thực thuộc khoảng sao cho . Khi đó với mọi , ta có:

.

Chú ý

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho như sau:

Ví dụ 7: (SGK – tr.37)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 7

a) Điều kiện

. 

b) , .

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là , .

Hoạt động 5: Phương trình cot x = m

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện hoạt động 6.
• Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình cotx=m.
• Hoàn thành luyện tập 8.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ6

a) Với , ta thấy tại

Do đó đường thẳng y = -1 cắt đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là .

Do hàm số  tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số tại các điểm có hoành độ là .

b) Phương trình có các nghiệm là .

Công thức nghiệm

­Gọi là số thực thuộc khoảng sao cho . Khi đó với mọi , ta có:

Chú ý

Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho: 

Ví dụ 8: (SGK – tr.38).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 8

a) Do nên:

 . 

b) , .

Hoạt động 6: Giải phương trình lượng giác cơ bản bằng máy tính cầm tay

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

Hoàn thành luyện tập 9

Sản phẩm dự kiến:

Ví dụ 9: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).

Luyện tập 9.

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

a) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

và 

.

b)  Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình có các nghiệm là: .

c) Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình có các nghiệm là: .

Ví dụ 10: (SGK – tr.39).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.39).

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 2: Hai phương trình tương đương là hai phương trình có 

A. Một nghiệm giống nhau

B. Hai nghiệm giống nhau

C. Tập nghiệm khác nhau

D. Tập nghiệm giống nhau

Câu 3: Phương trình sinx = cosx có số nghiệm thuộc đoạn [0;π] là:

A. 1

B. 4

C. 5

D. 2

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: A

Câu 2: D

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Giải phương trình: sin²x + sin2x + 2cos²x = 2

Câu 2: Giải phương trình: 3(sin5x – cosx) = 4(sinx + cos5x)