Giáo án Toán 12 kết nối Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV hướng dẫn HS làm HĐ 1:

+ Xác định dạng hình, chiều cao, cạnh đáy.

+ b) Tính tích phân rồi so sánh.

- Tổng quát có cách tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị của hàm số   liên tục và hai đường thẳng

Lưu ý: công thức có trị tuyệt đối hàm f(x). Để tính được tích phân ta phải phá dấu trị tuyệt đối bằng cách xét dấu hàm số hoặc dựa vào đồ thị.

- HS quan sát Ví dụ 1, 2.

Quan sát đồ thị để phá dấu giá trị tuyệt đối. 

- HS thực hiện Luyện tập 1.

Trong khoảng nào thì    và ngược lại.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

HĐ 1

a)

Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường thẳng .
Do đó .
Khi đó

 

Kết luận

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Ví dụ 1 (SGK -tr.20)

Ví dụ 2 (SGK -tr.20)

Luyện tập 1

Diện tích hình phẳng cần tính là:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS làm HĐ 2.

+ a) Tính theo cách tính đã học ở mục 1.a.

Từ đó tính S.

b) Tính tích phân rồi so sánh.

- Tổng quát có các tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng

- GV nêu chú ý, nhấn mạnh trong trường hợp không đổi dấu.

- HS quan sát Ví dụ 3, Ví dụ 4: áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng, xác định cận trên, cận dưới, hai hàm số.

Dựa vào đồ thị để phá dấu giá trị tuyệt đối.

- GV có thể hướng dẫn HS cách phá trị tuyệt đối dùng hàm số mà không cần đồ thị.

- HS thực hiện Luyện tập 2, GV hướng dẫn:

Vẽ đồ thị hàm số để phá dấu trị tuyệt đối hoặc đánh giá dấu của hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối.

- HS làm Vận dụng 1

+ Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình nào?

+ Để tìm thặng dư tiêu dùng phải tính diện tích phần nào? Làm thế nào để tính được diện tích đó.

Tương tự câu hỏi với thặng dư sản xuất.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1.

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng

HĐ 2:

a) Ta  có

Vậy

Kết luận

Diện tich của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Chú ý:

Nếu hiệu không đổi dấu trên đoạn thì

Ví dụ 3 (SGK -tr.21)

Ví dụ 4 (SGK -tr.21)

Luyện tập 2

Diện tích hình phẳng cần tính là:

Vận dụng 1

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:

Tọa độ điểm cân bằng là .
Thặng dư tiêu dùng là:

(triệu đồng).
Thặng dư sản xuất là:
 

 (triệu đồng)
 

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS làm HĐ 3.

b) Mặt cắt S(x) là hình gì? Từ đó tính và so sánh.

- GV giới thiệu công thức tính thể tích vật thể sử dụng tích phân.

- GV hướng dẫn Ví dụ 5.

+ Chọn trục Ox.

+ Xác định mặt cắt khi dùng một mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x cắt khối lăng trụ. Tính diện tích mặt cắt đó.

+ Tính thể tích theo công thức.

- HS đọc hiểu Ví dụ 6.

Thực hiện các bước tương tự Ví dụ 5. 

Tuy nhiên bài toán cần xác định được diện tích của mặt cắt: hình vuông cạnh bằng a. Ta phải biểu diễn a theo L, h, x.

- Chú ý: dùng tích phân, ta chứng minh được công thức tính thể tích của khối chóp bất kì.

- HS thực hiện Vận dụng 2.

.................

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích của vật thể

HĐ 3: 

a) Độ dài chiều cao hình trụ là: .

Thể tích của hình trụ là: .
b) Diện tích mặt cắt khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục là
.
Ta có
Vậy

Công thức tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian . Gọi là phần vật thể giới hạn bới hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm có hoành độ . Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó thể tích của phần vật thể được cính bởi công thức

Ví dụ 5 (SGK -tr.23)

Ví dụ 6 (SGK -tr.23)

Chú ý:

Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng   diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.

Vận dụng 2

.................