Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Ứng dụng hình học của tích phân” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại công thức tính diện tích hình phẳng 

2. Nhắc lại công thức tính thể tích vật thể.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơỉ đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng và

Giải

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng

Diện tich của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Chú ý:

Nếu hiệu không đổi dấu trên đoạn thì

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng và .

Giải

Diện tích cần tìm là

Ta có:

Vậy

2.Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích của vật thể

Cho một vật thể trong không gian . Gọi là phần vật thể giới hạn bới hai mặt phẳng vuông góc với trục tại các điểm có hoành độ . Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là . Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó thể tích của phần vật thể được cính bởi công thức

Chú ý:

Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó.

Ví dụ 3: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một đường tròn có bán kính bằng .

Giải

Diện tích đường tròn là

Vậy thể tích của vật thể là:

b) Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn .  

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm được một hình tròn có bán kính .

Thể tích của khối tròn xoay này là:

Ví dụ 4: Cho hình phẳng giới hạn với đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

Giải

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  , trục hoành và

Phương pháp giải: 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục và hai đường thẳng , được tính bằng công thức

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hàm số , trục hoành , các đường thẳng .

b) Đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

c) Đồ thị hàm số và hai đường thẳng .

d) Đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .

Bài 2. Gọi   là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng . Đặt . Khi đó, tính theo .

Bài 3. Xác định và tính diện tích phần tô màu trong các hình sau:

Bài 4. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.

a) Tính

b) Xác định và tính diện tích phần tô màu của đồ thị hàm số trên.

Bài 5. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , trục hoành và . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để .

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Diện tích hình phẳng là:

b) Xét phương trình:

Ta có: 

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm:  

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra: 

d) Phương trình hoành độ giao điểm:

Bảng xét dấu:

Suy ra:

Bài 2. 

Ta có:

Ta thấy

Suy ra

Bài 3. 

Diện tích phần tô màu là:

Diện tích phần tô màu là:

Bài 4. 

a)

b) Diện tích phần tô màu là:

Xét phương trình:

Suy ra

Bài 5. 

Ta có: và

Vì

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và .

Phương pháp giải: 

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số liên tục trên đoạn   và hai đường thẳng  , được tính bằng công thức

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng của các hình sau:

a) Hình phẳng giới hạn bởi hàm số , đường thẳng .

b) Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và .

Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) .

b) .

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và tiếp tuyến của tại .

Bài 4. Tìm để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , đường thẳng và bằng ?

Bài 5. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình vẽ. Biết Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Vì

Nên

b) Ta có:

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong và .

Khi đó: 

Bài 2. 

…………………………….