Giáo án điện tử Toán 12 chân trời Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian (P2)

CHÀO MỪNG CẢ LỚP

ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

CHƯƠNG V:

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

2.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG

VUÔNG GÓC

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

• HĐKP 6: Cho ba đường thẳng

b) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa và

c) Giải hệ phương trình (ẩn và )

Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa và

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Giải:

a) không song song, không trùng với vì các vectơ chỉ phương không cùng phương.

b)

Vậy và cắt nhau tại một điểm.

c) (vô nghiệm).

Hệ phương trình vô nghiệm và hai đường thẳng không song song, không trùng nhau nên và chéo nhau.

Cho hai đường thẳng và có phương trình tham số lần lượt là:

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

TỔNG QUÁT

TỔNG QUÁT

Xét hệ phương trình ẩn và

• và cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.
• và chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý:

Để xét vị trí tương đối của và , trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của và

a) Nếu và cùng phương thì và hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu và không cùng phương thì và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 7. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a)

Giải:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Vậy và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình

Từ và suy ra . Thay vào ta thấy phương trình thoả mãn. Vậy cắt tại điểm

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Vậy và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình

Từ và suy ra . Thay vào ta thấy phương trình không thoả mãn . Vậy và chéo nhau.

có phương trình tham số là:

Chú ý:

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Trong trường hợp , không cùng phương, nghĩa là , ta có:

• Nếu thì và cắt nhau.
• Nếu thì và chéo nhau.

Thực hành 7

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

Giải:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Vậy và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

có phương trình tham số là

Xét hệ phương trình Suy ra .

Vậy cắt tại điểm

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Vậy và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

có phương trình tham số là

có phương trình tham số là

Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Vậy và chéo nhau.

Giải:

Vận dụng 3

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng trên trụ cầu và đường thẳng trên sàn cầu có phương trình lần lượt là:

Xét vị trí tương đối giữa và .

Giải:

và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có và không cùng phương.

Vậy và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình

Ta thấy hệ phương trình vô nghiệm nên và chéo nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

• HĐKP 7: Cho hai đường thẳng

Giải:

a)

b) nên và vuông góc với nhau.

Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Ta có

TỔNG QUÁT

Ví dụ 8. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

Giải:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có .

Vậy và vuông góc với nhau.

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có

Vậy và không vuông góc với nhau.

Thực hành 8

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

Giải:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có .

Vậy và vuông góc với nhau.

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có .

Vậy và không vuông góc với nhau.

Vận dụng 4

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian . Cho biết trục của nòng súng và cọc đỡ bia có phương trình lần lượt là:

Xét vị trí tương đối giữa và , chúng có vuông góc với nhau không?

Giải:

và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có và không cùng phương.

Suy ra và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Vì và cùng đi qua điểm nên và cắt nhau.

Ta lại có .

Vậy và vuông góc với nhau tại .

3. GÓC

Góc giữa hai đường thẳng

• HĐKP 8: Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Giải:

a) Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với và .

b) Vectơ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng vì cùng phương với .

c) Góc giữa hai đường thẳng có độ lớn từ đến nên .

Mà .

Do đó, .

d) Côsin của góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

TỔNG QUÁT

Góc giữa hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và được tính bởi công thức:

Ví dụ 9. Tính góc giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

Giải:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Suy ra

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Suy ra

Giải:

c) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Suy ra

Thực hành 9

Tính góc giữa hai đường thẳng và trong mỗi trường hợp sau:

a) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có

Suy ra .

Giải:

Giải:

b) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có

Suy ra .

Giải:

c) và có vectơ chỉ phương lần lượt là và .

Ta có

Suy ra .

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------