Giáo án điện tử toán 10 chân trời bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

BÀI 4: BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. KHỞI ĐỘNG

• Hình a: Đường cong khép kín trong hình ảnh trên là đường gì?
• Hình b: Đường cong màu xanh trong hình ảnh trên là đường gì?
• Hình c: Đường cong màu xanh trong hình ảnh trên là đường gì?

1. NỘI DUNG BÀI HỌC
2. Elip
3. Hypebol
4. Parabol

1. PHẦN TRIỂN KHAI KIẾN THỨC
2. Elip

• Nhận biết elip

Thảo luận nhóm: hãy đọc nội dung HĐKP1 và trả lời câu hỏi.

HĐKP1:

Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm  và . Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn . Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm  nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm  rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà ta gọi là đường elip.

Cho biết  là khoảng cách  và  là độ dài của vòng dây.

Tính tổng hai khoảng cách  và .

Giải:

 +  = 2a.

Kết luận:

Cho hai điểm cố định F₁, F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F₂. Elip (E) tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a.

Các điểm F₁ và F₂ gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F₁F₂  = 2c gọi là tiêu cự của elip (a>c).

• Phương trình chính tắc của elip

Thảo luận nhóm: hãy đọc nội dung HĐKP2 và trả lời câu hỏi.

HĐKP2:

Cho elip  có các tiêu điểm  và  và đặt . Chọn hệ trục toạ độ  sao cho  và .

Xét điểm .

1. a) Tính và theo  và .
2. b) Giải thích phát biểu sau:

Giải:

1. a) = = 

 =  = 

1. b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho + = 2a

  = 2a.

 Kết luận:

 (1)

Trong đó b =

(1) gọi là Phương trình chính tắc của elip.

Chú ý:

(E) cắt Ox tại hai điểm  và cắt Oy tại hai điểm

Các điểm A₁ ; A₂ ; B₁ ; B₂  gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng A₁A₂ gọi là trục lớn, đoạn thẳng B₁B₂ gọi là trục nhỏ của elip.

Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

Nếu M(x; y)  (E) thì ;  b.

Em hãy đọc nội dung HĐKP2 và trả lời câu hỏi.

Ví dụ 1: SGK-tr65

Viết phương trình chính tắc của elip  có độ dài hai trục lần lượt là 26 và 10 .

Giải

Ta có: , suy ra .

Vậy phương trình chính tắc của  là .

Ví dụ 2: SGK-tr65

Viết phương trình chính tắc của clip có độ dài trục lớn bằng 20 và tiêu cự bằng 12 .

Giải:

Ta có: , suy ra  và .

Vậy phương trình chính tắc của elip là .

Em hãy đọc nội dung Thực hành 1 và trả lời câu hỏi:

Thực hành 1. Viết phương trình chính tắc của elip trong Hình 4.

Giải:

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là:  +  = 1

Thảo luận nhóm: hãy đọc nội dung Vận dụng 1 và trả lời câu hỏi.

Vận dụng 1: Một đường hầm có mặt cắt hình nửa elip cao , rộng  (Hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Giải

Ta có: 2a = 10  a = 5; b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:  +  = 1

2. Hypebol

• Nhận biết hypebol

Thảo luận nhóm: hãy đọc nội dung HĐKP3 và trả lời câu hỏi.

HĐKP3: Lấy một tấm bìa, trên đó đánh dấu hai điểm  và . Lấy một cây thước thẳng với mép thước  có chiều dài  và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài  sao cho  nhỏ hơn khoảng cách  (Hình 6a).

Đính một đầu dây vào đầu  của thước, dùng đinh ghim đầu dây còn lại vào điểm . Đặt thước sao cho đầu  của thước trùng với điểm  và đoạn thẳng  có thể quay quanh . Tựa đầu bút chì  vào đoạn dây, di chuyển  trên tấm bìa và giữ sao cho dây luôn căng, đoạn  ép sát vào thước, khi đó  sẽ vạch ra trên tấm bìa một đường  (xem Hình fh)

a) Chứng tỏ rằng khi  di động, ta luôn có .