Giáo án Toán 12 kết nối Bài 17: Phương trình mặt cầu

Bằng ứng dụng Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách trên bề mặt Trái Đất từ vị trí đến vị trí ta sẽ đi được khoảng cách 8271,74 km (H.5.40). Cơ sở toán học cho việc thiết lập phần mềm tính công thức khoảng cách trên bề mặt Trái Đất là gì?

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV gọi HS nêu khái niệm về mặt cầu, điểm nằm bên trong mặt cầu, điểm nằm bên ngoài mặt cầu, đường kính của mặt cầu.

- GV tổng kết và giới thiệu cho HS về mặt cầu.

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ.

-  Từ kết quả trên, GV giới thiệu hệ thức lập được là phương trình mặt cầu.

- GV giới thiệu phương trình mặt cầu.

- GV đặt câu hỏi cho HS rút ra chú ý:

+ Nếu nằm trong mặt cầu thì tọa độ điểm thỏa mãn hệ thức nào?

+ Nếu nằm ngoài mặt cầu thì tọa độ điểm thỏa mãn hệ thức nào?

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 1.

+ Gọi 1 – 2 HS xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

+ Từ đó HS xét vị trí của gốc tọa độ.

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương tự.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 2.

+ Gọi 1 – 2 HS lên bảng viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính.

+ Mặt cầu có đường kính là thì tâm có tọa độ là gì? Bán kính có độ dài bao nhiêu? 

Từ đó viết phương trình mặt cầu.

- HS thực hiện Luyện tập 2, tương tự ví dụ.

- GV cho HS tìm hiểu Ví dụ 3.

+ HS sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh.

- HS thực hiện Luyện tập 3, tương tự ví dụ.

- Từ kết quả của Ví dụ 3, Luyện tập 3, GV rút ra nhận xét cho HS: Với các hằng số thì là phương trình mặt cầu khi nào? Nếu nó là phương trình mặt cầu, hãy xác định tâm và bán kính .

- Từ nhận xét trên, HS thực hiện Ví dụ 4.

-  HS thực hiện cá nhân Luyện tập 4.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phương trình mặt cầu

* Nhắc lại kiến thức

Mặt cầu tâm bán kính là tập các điểm trong không gian cách một khoảng bằng .

Một điểm được gọi là nằm trong mặt cầu tâm bán kính nếu và được gọi là nằm ngoài mặt cầu đó nếu .

Mỗi đường thẳng đi qua tâm mặt cầu đều cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, đoạn thẳng nối hai điểm đó được gọi là một đường kính của mặt cầu. Mỗi đường kính của mặt cầu đều có trung điểm là tâm mặt cầu và có độ dài bằng hai lần bán kính mặt cầu.

HĐ. Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Một điểm thuộc mặt cầu khi và chỉ khi

Kết luận

Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính có phương trình

Chú ý:

- Điểm nằm trong mặt cầu nếu

- Điểm nằm ngoài mặt cầu nếu

Ví dụ 1 (SGK -tr.55)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.55

Luyện tập 1

a) Mặt cầu có tâm và

b) Có

Vậy điểm nằm ngoài mặt cầu.

Ví dụ 2 (SGK -tr.55)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.55

Luyện tập 2

a) Phương trình mặt cầu tâm bán kính là .

b) Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của , ta có , bán kính là .

Phương trình mặt cầu đường kính là:

Ví dụ 3 (SGK -tr.56)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.56

Luyện tập 3

Ta có:

Vậy là mặt cầu có tâm và .

Nhận xét: Với các hằng số thì có thể viết lại thành và là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi  . Khi đó, có tâm và bán kính .

Ví dụ 4 (SGK -tr.56)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.56

Luyện tập 4

Từ phương trình mặt cầu ta có và .

Phương trình mặt cầu có tâm , .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS tìm hiểu phần ứng dụng của phương trình mặt cầu và thuyết trình trước lớp.

-  GV nhận xét và nêu một vài ứng dụng quan trọng.

- HS thực hiện theo nhóm nhỏ, tìm hiểu Ví dụ 5: 

+ Xác định tọa độ của điểm  .

+ Tính số đo góc .

+ Tính độ dài cung nhỏ .

- HS thực hiện Luyện tập 5.

…………………..

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

- Trong bài học này, ta xét Trái Đất trong không gian , với là tâm Trái Đất, tia chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia chứa điểm cực Bắc N, tia giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với 6 371 km trên thực tế. Như vậy, trong không gian , bề mặt Trái Đất có phương trình: .

-  Nếu biết vĩ độ và kinh độ của một vị trí trên mặt trái đất thì tọa độ của nó trong không gian cũng dễ dàng được xác định và ngược lại.

- Khoảng cách giữa hai vị trí và trên bề mặt Trái Đất là độ dài cung nhỏ của đường tròn có tâm và đi qua hai điểm . Cung tròn nói trên là đường đi ngắn nhất trên bề mặt Trái Đất từ đến .

 Ví dụ 5 (SGK -tr.58)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.58

Luyện tập 5

………………….