Nhận biết được các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng.
Viết được phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.
Viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Năng lực

Năng lực chung:

Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá;
Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm;
Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.

Năng lực riêng:

Tư duy và lập luận toán học: So sánh, phân tích dữ liệu tìm ra mối liên hệ giữa các đối tượng đã cho và các phương pháp đã học, từ đó có thể áp dụng kiến thức đã học để nhận biết và xét tính đơn điệu của hàm số;
Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học;
Sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

3. Phẩm chất:

Cóý thức làm việc nhóm, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo cho HS => độc lập, tự tin và tự chủ;
Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, phiếu học tập.

- Học sinh: Vở, nháp, bút.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

A. KHỞI ĐỘNG

a) Mục tiêu: Tạo tâm thế và định hướng chú ý cho học sinh, tạo vấn đề vào chủ đề.

b) Nội dung hoạt động: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.

c) Sản phẩm học tập: Kết quả câu trả lời của HS.

d) Tổ chức hoạt động:

- GV cho HS hoàn thành bài tập sau

Bài toán; Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng biết rằng:

a) qua điểm và song song với biết .

b) đi qua điểm và song song với đường thẳng có phương trình .

c) đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với mặt phẳng biết rằng .

Trả lời:

a) qua điểm và có vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số:

có phương trình chính tắc:

b) song song với nên có vectơ chỉ phương .

Vậy có phương trình tham số là:

có phương trình chính tắc:

c) Ta có:

đi qua trọng tâm của tam giác , lại vuông góc với nên có vectơ chỉ phương

Phương trình tham số

có phương trình chính tắc:

- GV nhận xét, dẫn dắt HS vào nội dung ôn tập bài “Phương trình đường thẳng trong không gian”.

B. HỆ THỐNG LẠI KIẾN THỨC

a. Mục tiêu: HS nhắc lại và hiểu được phần lý thuyết của bài. Từ đó có thể áp dụng giải toán một cách dễ dàng.

b. Nội dung hoạt động: GV hướng dẫn HS nhắc lại phần kiến thức lí thuyết “Phương trình đường thẳng trong không gian”.

c. Sản phẩm học tập: Câu trả lời của HS về phương trình đường thẳng trong không gian và chuẩn kiến thức của GV.

d. Tổ chức thực hiện:

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “ Phương trình đường thẳng trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1.Trình bày các dạng phương trình đường thẳng và cách viết phương trình đường thẳng khi đi qua hai điểm.

2.Trình bày vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng vuông góc.

3.Trình bày công thức tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ khác có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là vectơ chỉ phương của .

Chú ý: Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là vectơ chỉ phương của .

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Giải:

suy ra đường thẳng có vectơ chỉ phương .

Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm nhận làm vectơ chỉ phương có dạng

với ( được gọi là tham số).

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng , mỗi giá trị của tham số xác định duy nhất một điểm trên và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết

Ví dụ 2: Trong không gian , cho đường thẳng : . Điểm có thuộc đường thẳng không ?

Giải:

Thay vào phương trình đường thẳng ta có:

suy ra (vô lí).

Vậy .

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Nếu đều khác 0 thì hệ phương trình gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .

Ví dụ 3: Trong không gian , cho đường thẳng : . Điểm có thuộc đường thẳng không ?

Giải:

Thay vào phương trình đường thẳng ta có:

luôn đúng.

Vậy .

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian , đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt có vectơ chỉ phương là có phương trình:

Nếu thì có phương trình chính tắc:

Ví dụ 4: Trong không gian , đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt . Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm và .

Giải:

Đường thẳng đi qua hai điểm nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình .

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi và lần lượt là véctơ chỉ phương của hai đường thẳng và . Gọi là một điểm

Ta có: khi và chỉ khi

khi và chỉ khi

Chú ý: Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương .

a) Nếu ba vectơ cùng phương thì .

b) Nếu hai vectơ cùng phương và hai vectơ không cùng phương thì .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng ; . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

Giải:

có VTCP .

Suy ra . (1)

Lấy .

Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta có:

(vô lí).

Suy ra . (2)

Từ (1)(2) suy ra .

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho hai đường thẳng và có phương trình lần lượt là:

và :.

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

Xét hệ phương trình ẩn cà :

và cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

và chéo nhau khi và chỉ khi , không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý:

Để xét vị trí tương đối của và , trước hết ta kiểm ta tính cùng phương của hai véctơ chỉ phương và

a) Nếu và cùng phương thì và song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu và không cùng phương thì và cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương .

Trong trường hợp và không cùng phương, nghĩalà ta có:

Nếu thì và cắt nhau.

Nếu thì và chéo nhau.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

Giải:

có VTCP .

Lấy ; .

Suy ra và chéo nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và .

khi và chỉ khi hay .

Ví dụ 7: Tìm để hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

và :

Giải:

Để hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau thì hay .

Vậy để hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau thì .

3. Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và được tính bởi công thức:

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng và . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng và .

Giải:

lần lượt là vectơ chỉ phương của

Suy ra .

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến được tính bởi công thức:

Ví dụ 9: Cho đường thẳng và mặt phẳng . Tính góc giữa đường thẳng và

Giải:

lần lượt là vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của và

Suy ra .

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là và được tính bởi công thức:

Ví dụ 10: Cho mặt phẳng . Tính góc giữa hai mặt phẳng

Giải:

lần lượt là vectơ pháp tuyến của và

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

a. Mục tiêu: HS nhận biết cách giải các dạng bài tập thường gặp trong bài “ Phương trình đường thẳng trong không gian” thông qua các phiếu bài tập.

b. Nội dung hoạt động: HS thảo luận nhóm, thực hiện các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm để hoàn thành phiếu bài tập

c. Sản phẩm học tập: Học sinh nhận biết các dạng bài liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian và phương pháp giải các dạng bài.

d. Tổ chức thực hiện:

Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập theo nhóm đôi và trình bày bảng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Cách 1:

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và . Gọi là điểm lần lượt thuộc

khi và chỉ khi

cắt khi và chỉ khi

và chéo nhau khi và chỉ khi

khi và chỉ khi .

Cách 2:

Cho hai đường thẳng và :.

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

Xét hệ phương trình ẩn cà :

và cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

và chéo nhau khi và chỉ khi , không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Bài 1. Xét vị trí ương đối của cặp đường thẳng và .

Bài 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

và .

Bài 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

và

Bài 4. Xét vị trí ương đối của cặp đường thẳng và .

- HS phân tích đề và tìm câu trả lời.

- GV cho đại diện học sinh trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 1:

Bài 1.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương và đi qua

; .

Vậy và cắt nhau.

Bài 2.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương và đi qua

Vậy và chéo nhau.

Bài 3.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương và đi qua

Vậy và ’ trùng nhau.

Bài 4.

Đường thẳng có vectơ chỉ phương và đi qua

Vậy và cắt nhau.

Nhiệm vụ 2: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương

Phương pháp giải:

Trong không gian , nếu đường thẳng đi qua điểm nhận làm véctơ chỉ phương thì:

Phương trình tham số của đường thẳng

với ( được gọi là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng (với đều khác 0) :

Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ta cần xác định được một điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua và nhận véctơ ) làm vectơ chỉ phương,

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng có phương trình chính tắc . Viết phương trình tham số của đường thẳng .

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ ; cho đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương . Viết phương trình tham số của đường thẳng

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ ; cho đường thẳng . Biết rằng đường thẳng nhận véctơ làm vectơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng dạng chính tắc.

- HS phân tích đề và tìm câu trả lời.

- GV cho đại diện học sinh trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.

Gợi ý đáp án:

DẠNG 2:

Bài 1.

Đường thẳng đi qua và nhận véctơ ) làm vectơ chỉ phương nên:

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng .

Bài 2.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng ta suy ra đi qua điểm và vectơ chỉ phương .

Phương trình tham số của của đường thẳng là:

Bài 3.

Với thì hai véctơ và cùng phương.

Đường thẳng đi qua nhận làm vectơ chỉ phương nên: :.

Bài 4.

Đường thẳng đi qua và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Mà đường thẳng cũng nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Nên và cùng phương hay .

Suy ra

Đường thẳng đi qua nhận làm vectơ chỉ phương có dạng chính tắc là: .

Nhiệm vụ 3: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập theo nhóm đôi và trình bày bảng.