Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 3: Cấp số nhân

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 3. CẤP SỐ NHÂN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Một quả bóng rơi từ một vị trí có độ cao 120 cm. Khi chạm đất, nó luôn nảy lên độ cao bằng một nửa độ cao của lần rơi trước đó.

Gọi là độ cao của lần rơi đầu tiên và là độ cao của các lần rơi kế tiếp. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) và tìm điểm đặc biệt của dãy số đó.

- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. CẤP SỐ NHÂN 

Hoạt động 1: Tìm hiểu cấp số nhân.

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1

- GV giới thiệu dãy số như trên được gọi là cấp số nhân.

Từ đó HS khái quát thế nào là cấp số nhân.

+ Nhấn mạnh: cấp số nhân xác định khi biết số hạng đầu và công bội.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 1, 2, 3.

- Từ kết quả của Ví dụ 3, khái quát về tính chất của ba số liên tiếp trong một cấp số nhân.

- HS thực hiện Thực hành 1.

+ vì m, n, p lập thành cấp số cộng, viết mối quan hệ của m, n, p.

+ Từ đó viết mối quan hệ của

- HS thực hiện Vận dụng 1, 2.

+ VD1: Viết dân số các năm theo P và a%, từ đó xác định được số hạng đầu, công bội.

+ VD2: Viết tần số ba phím đã cho theo một cấp số nhân, rồi tìm công bội.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1

a) Thương của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2.

b) Điểm giống nhau của các dãy số là: 

Trong mỗi dãy số, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi.

Kết luận

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể tử số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi .

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý: Dãy số là cấp số nhân thì

, .

Thực hành 1

Vì 3 số m, n, p theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng.

Gọi d là công sai của cấp số công. Ta có:

Ta có:

Và

Vậy theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội là

Vận dụng 1

Dân số qua các năm là:

.....

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là

Vận dụng 2

Do tần số của ba phím  Sol, La, Si tạo thành cấp số nhân nên gọi tần số 3 phím lần lượt là:

Ta có: và Nên

Suy ra:

Vậy tần số của phím La là 440 Hz.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN

Hoạt động 2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số nhân

- HS thực hiện HĐKP 2, để tìm ra số hạng tổng quát của cấp số nhân.

- GV chốt lại kiến thức: định lí 1.

- HS thực hiện Ví dụ 4, Thực hành 2, Vận dụng 3.

+ TH4: xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

+ VD3: Xác định công bội và số hạng đầu. Rồi tính chu kì bán rã trong mỗi câu a, b. 

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2

Định lí 1

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức

Ví dụ 4 (SGK -tr.59)

Thực hành 2

a)

b)

Vận dụng 3

a) Sau 690 = 138.5 ngày, tức là sau 5 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: ;

b) Sau 7314 = 138.53 ngày, tức là sau 53 chu kì bán rã, khối lượng nguyên tố Poloni còn lại là: .

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ NHÂN

Hoạt động 3: Tìm hiểu cách tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

- Từ đó có công thức tính tổng n số hạng đầu của dãy.

- HS áp dụng thực hiện Ví dụ 5, Thực hành 3, Vận dụng 4.

+ TH3: xác định công bội của dãy số, giá trị n, rồi áp dụng công thức tính.

+ VD4: xác định số hạng đầu, công bội, giá trị n bằng bao nhiêu.

HĐKP 3

a) Ta có: 

Vậy

b) Ta có:

Vậy

Định lí 2

Giả sử là một cấp số nhân với công bội . Đặt . Khi đó

Chú ý: Khi thì

Ví dụ 5 (SGK -tr.60)

Thực hành 3

a)

b)

Suy ra

Vận dụng 4

Ta có:

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

                                 B.    

C.                                 D.  

Câu 2: Cho cấp số nhân có và Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

A. hoặc     

B. hoặc  

C. hoặc      

D. hoặc  

Câu 3: Cho cấp số nhân có . Tính  

A.                          B.  

C.                               D.

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: B

Câu 2: B

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Giả sử một thành phố có dân số năm 2022 là khoảng 2,1 triệu người và tốc độ gia tăng dân số trung bình mỗi năm là 0,75%.

a) Dự đoán dân số của thành phố đó vào năm 2032.

b) Nếu tốc độ gia tăng dân số vẫn giữ nguyên như trên thì ước tính vào năm nào dân số của thành phố đó sẽ tăng gấp đôi so với năm 2022?

Câu 2: Trong trò chơi mạo hiểm nhảy bungee, mỗi lần nhảy, người chơi sẽ được dây an toàn có tính đàn hồi kéo nảy ngược lên 60% chiều sâu của cú nhảy. Một người chơi bungee thực hiện cú nhảy đầu tiên có độ cao nảy ngược lên là 9m.

a) Tính độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ ba.

b) Tính tổng các độ cao nảy ngược lên của người đó trong 5 lần nảy đầu.