Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 1: Đạo hàm

BÀI 1. ĐẠO HÀM (3 TIẾT)

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐẠO HÀM

Hoạt động 1: Tìm hiểu đạo hàm

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 1.

+ Thông qua việc xét bài toán chuyển động rơi của vật, HS nhận biết khái niệm và cách tính vận tốc tức thời thông qua giới hạn của tốc độ trung bình của chuyển động. Qua đó, HS bước đầu làm quen với khái niệm đạo hàm.

- Từ kết quả của hoạt động trên, GV mở rộng bài toán giới thiệu giới hạn được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_o, kí hiệu v(t_o). Giới hạn này cũng được gọi là đạo hàm của hàm số s(t).

Kí hiệu: v(t_o) = s'(t_o) =

- GV giới thiệu định nghĩa đạo hàm.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 1.

+ Áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm.

- GV chú ý cho HS.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 2.

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại f(x) = c. 

+ Áp dụng định nghĩa tính đạo hàm tại 1 hàm 1 số f(x) = với x ≠ 0.

- Áp dụng đinh nghĩa hoàn thành phần Thực hành 1.

- GV đưa chú ý

- GV đặt câu hỏi mở rộng: “Vậy đạo hàm có ý nghĩa gì trong vật lí?"

- HS làm Vận dụng 2: Áp dụng định nghĩa đạo hàm tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1:

Quãng đường rơi tự do của vật biểu diễn bởi công thức:

a) Kết quả: 

Khi càng gần thì giá trị của càng gần về .

b) Tại , ta có:

.

c) .

Định nghĩa

Cho hàm số xác định trên khoảng và .

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 

Thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại , kí hiệu là hoặc .

Vậy: .

Ví dụ 1 (SGK – tr.38)

Chú ý

Cho hàm số xác định trên khoảng . Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng , kí hiệu hoặc .

Ví dụ 2 (SGK – tr.38)

Thực hành 1

Với bất kì ta có:

Vậy .

Chú ý

Cho hàm số xác định trên khoảng , có đạo hàm tại .

a) Đại lượng gọi là số gia của biến tại . Đại lượng gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, và

b) Tỉ số biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ đến ; còn biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng tại thời điểm .

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

• Nếu hàm số biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian thì biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm .
• Nếu hàm số biểu thị nhiệt độ theo thời gian thì biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm .

Vận dụng 2

Vậy tại thời điểm vận tốc tức thời của chuyển động là

2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Hoạt động 2: Tìm hiểu ý nghĩa hình học của đạo hàm

- GV yêu câu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2.

- GV nhận xét về vị trí tương đối của d và đồ thị (C): “Khi đó đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm M.”

- GV giới thiệu bài toán mở rộng, đặt câu hỏi cho HS: 

+ Hệ số góc của cát tuyển M₀M được tỉnh bằng công thức nào? 

+ Khi x dần tới x₀ thì điểm M di chuyển như thế nào?

+ Khi đó, nói cát tuyến M₀M là tiếp tuyến của (C) được không? Vì sao? 

+ Hệ số góc của tiếp tuyến được tỉnh bằng công thức gì?

- GV tổng quát, giới thiệu phương trình tiếp tuyến.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 3.

+ Áp dụng công thức viết phươn trình tiếp tuyến tại M.

- GV cho HS thực hiện HĐTH 2 độc lập, mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2:

a)

Ta có:  

b) Ta có: đi qa và có hệ số góc bằng nên:

Ta có hình vẽ sau: 

Nhận xét: Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại duy nhất một điểm . 

Trong mặt phẳng tọa độ , cho đồ thị của hàm số và điểm thuộc . Xét là một điểm di chuyển trên .

• Hệ số góc của cát tuyến được tính bởi công thức
• Khi cho dần tới thì di chuyển trên tới .
• Giả sử cát tuyến có vị trí giới hạn là thì được gọi là tuyến tuyến của

tại và được gọi là tiếp điểm.

• Hệ số góc của tiếp tuyến là:

Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại . Gọi là đồ thị của hàm số đó.

Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm

Tiếp tuyến  có phương trình là

Ví dụ 3 (SGK – tr.40)

HĐTH 2

Ta có: 

.

Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là:

.

3. SỐ

Hoạt động 3: Tìm hiểu số e

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3.

+ Tính tổng số tiền gửi và tiền lãi sau một năm nếu gửi theo kì hạn là 1 năm. 

+ Tính tổng số tiền gửi và tiền lãi sau một năm nếu gửi theo kì hạn là tháng.

- GV đặt câu hỏi gợi mở: “Hãy thiết lập công thức tỉnh số tiền vốn và lãi sau một năm nếu gửi theo hình thức lãi 1 ngày, 1 giờ, 1 phút...”

- GV yêu cầu học sinh nêu công thức tính tổng quát.

- GV giới thiệu về số e.

- HS đọc, giải thích Ví dụ 4.

- GV cho HS thực hiện HĐTH 3 độc lập, mời 1 HS lên bảng trình bày.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 3:

a) Nếu người gửi với kì hạn một năm số tiền lãi sau một năm là A.r.

Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:

b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng thì số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: .

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là: 

• Số tiền lãi sau than thứ hai là: .

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:

Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm là: .

Tiền lãi và vốn tính theo kì hạn tương ứng là: ; 

; 

;...

Tổng quát, nếu một năm được chia thành kì hạn thì

(với .

Khi kì hạn càng ngắn thì càng lớn, do đói càng lớn. Người ta chứng minh được rằng có giới hạn hữu hạn

(với là số vô tỉ và

Khi kì hạn trở nên rất ngắn (m dần đến ) thì dần đến , và do đó dần đến .

Ví dụ 4 (SGK – tr.41)

Thực hành 3

a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:

(đồng).

b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:

(đồng).

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho hàm số f(x) = x² + x Tính f’(x)

A. 2x + 1

B. 2x.

C. 2x² + 1

D. 2x² + x

Câu 2: Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t² trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2 giây.

A. 2m/s.

B. 3m/s.

C. 4m/s.

D. 5m/s.

Câu 3: Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến với parabol y = x² tại điểm có hoành độ

A. k = 0

B. k = 1

C. k =

D. k = -

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: A

Câu 2: C

Câu 3: B

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) lãi kép liên tục.

Câu 2: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức h(t) = 0,81t², với được tính bằng giây và tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm t = 2.