Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu 

Trong hình, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình với là tọa độ của điểm M trên trục Ox và t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10 cm?

- GV gợi mở: Nếu độ dài bóng OM bằng 10 cm thì s bằng bao nhiêu? (s = 10)

=> Từ đó ta có mối quan hệ: . Đây là một phương trình lượng giác. 

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG 

Hoạt động 1: Tìm hiểu phương trình tương đương

- GV yêu cầu HS thảo luận thực hiện HĐKP 1.

- GV giới thiệu về hai phương trình tương tương.

- HS đọc Ví dụ 1, giải thích vì sao hai phương trình tương đương, hoặc không tương đương.

- GV cho HS nhắc lại các phép biến đổi để giải phương trình đã học lớp dưới (cộng hoặc trừ hai vế với cùng số khác 0 và nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0).

- HS thực hiện Thực hành 1.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1

a) Tập nghiệm của phương trình là .

Tập nghiệm của phương trình là .

Tập nghiệm của phương trình là .

Ta có .

Kết luận

 Hai phương trình được gọi là tưong đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

 Ví dụ 1 (SGK -tr.34)

 Chú ý:

- Một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng 

+ Cộng hoặc trừ hai vế của phương trình cùng với một số hoặc cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình.

+ Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0 mà không thay đổi điều kiện của phương trình.

- Để chỉ sự tương đương của các phương trình, dùng kí hiệu

Thực hành 1

Phép biến đổi đầu tiên không là biến đổi tương đương, do khi chia cả hai vế của phương trình cho thì làm mất đi nghiệm này. 

Phương trình đầu tiên có hai nghiệm và , còn phương trình thứ hai chỉ có nghiệm .

2. PHƯƠNG TRÌNH SIN X = M

Hoạt động 2: Tìm hiểu phương trình sin x = m

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 2

- GV đặt câu hỏi: phương trình sin x = m có nghiệm khi m thuộc đoạn giá trị nào?

- GV chốt lại kiến thức về cách giải phương trình sin x = m.

+ Giới thiệu về hình ảnh giữa đồ thị hàm số y = sin x với đường thẳng y = m. Để thấy được tập nghiệm của phương trình.

- GV yêu cầu:

+ Tìm nghiệm cho phương trình sin x = 1; sin x = -1; sin x = 0.

+ Nếu có sin u = sin v thì có thể viết mối quan hệ của u và v như thế nào?

+ GV hướng dẫn cách trình bày khi tính theo đơn vị độ.

- HS đọc và thực hiện Ví dụ 2. GV hướng dẫn: 

+ Xác định giá trị m trong các trường hợp, xét xem có nghiệm hay không.

+ c) áp dụng công thức viết mối quan hệ của 2x và 3x.

- HS thực hiện Thực hành 2.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2

a) Không có giá trị nào của đễ vì với mọi .

b) Đường thẳng vuông góc trục sin tại điểm 0,5 cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và . Do đó và là điểm biểu diễn các góc lượng giác .

Các góc lượng giác đó lần lượt là và .

Kết luận

Xét phương trình  

+) Nếu thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu thì phương trình có nghiệm

Và

Với  sao cho

Chú ý:

a) Một số trường hợp đặc biệt:

• .
• .
• 

b)

c)

Ví dụ 2 (SGK -tr.35)

Thực hành 2

a)

hoặc .

b)

hoặc

.

3. PHƯƠNG TRÌNH COS X = M

Hoạt động 3: Tìm hiểu phương trình

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 3

- GV đặt câu hỏi: phương trình cos x = m có nghiệm khi m thuộc đoạn giá trị nào?

- GV chốt lại kiến thức về cách giải phương trình cos x = m.

Giới thiệu về hình ảnh giữa đồ thị hàm số y = sin x với đường thẳng y = m. Để thấy được tập nghiệm của phương trình

- HS thực hiện Ví dụ 3 và Thực hành 3.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 3

Đường thẳng vuông góc trục côsin tại điểm cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và . Do đó và là điểm biểu diễn các góc lượng giác .

Các góc lượng giác đó lần lượt là và .

Kết luận

Xét phương trình cos 

+) Nếu thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu thì phương trình có nghiệm

Và

Với  sao cho

Chú ý:

a) Một số trường hợp đặc biệt:

• .
• .
• 

b) 

c) 

Ví dụ 3 (SGK -tr.37)

Thực hành 3

a) vô nghiệm;

b)

hoặc .

c)

hoặc

4. ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 4: Tìm hiểu phương trình

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 4.

- GV hướng dẫn HS tương tự như hai phương trình trên.

- HS thực hiện Ví dụ 4 và Thực hành 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 4

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và . Do đó và là điểm biểu diễn các góc lượng giác có tan . Công thức tổng quát của các góc lượng giác đó là .

Kết luận

Với mọi số thực m, phương trình có nghiệm 

.

Với sao cho tan .

Chú ý:

.

Ví dụ 4 (SGK -tr.38)

Thực hành 4

a) .

b)

5. PHƯƠNG TRÌNH COT X = M

Hoạt động 5: Tìm hiểu phương trình

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 5.

- GV hướng dẫn HS tương tự như hai phương trình trên.

- HS thực hiện Ví dụ 5 và Thực hành 5.

HĐKP 5

Đường thẳng đi qua gốc toạ độ và điểm cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm và . Do đó và là điểm biểu diễn các góc lương giác .

Công thức tổng quát của các góc lượng giác đó là .

Kết luận

- Với mọi số thực , phương trình có nghiệm 

với sao cho .

Chú ý

.

Ví dụ 5 (SGK -tr.39)

Thực hành 5

a) ;

b)

.

6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Hoạt động 2: Tìm hiểu cách giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

- GV hướng dẫn HS sử dụng máy tính cầm tay 

+ Tìm góc thỏa mãn giá trị lượng giác mà phương trình cho.

+ Rồi viết công thức nghiệm.

- Chú ý: khi giải phương trình cot x = m.

- Tương tự HS thực hiện Thực hành 6 và Vận dụng.

Ví dụ 6 (SGK -tr.40)

Chú ý:

Để giải phương trình  ta giải phương trình

Thực hành 6

a) hoặc .

b) .

Vận dụng

Ta có hoặc .

hoặc

hoăc .

+)

hoặc

hoặc .

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Giải phương trình .

A.              B.

C.                 D.

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình ?

A.                                    B.       

C.                                     D.

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2108;2018]  để phương trình có nghiệm?

A.               B.               C.               D.

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: D

Câu 2: B

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Câu 2: Trong Hình 10, ngọn đèn hải đăng H cách bờ biển yy’ một khoảng HO = 1km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về hai phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển động dọc theo bờ.

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị tọa độ y_M của điểm M trên trục Oy theo thời gian t.

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với tọa độ y_S = – 1 (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà.