Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (3 TIẾT)

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Hoạt động 1: Tìm hiểu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- GV yêu cầu HS suy nghĩ trả lời HĐKP 1.

- GV giới thiệu về khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- HS quan sát Ví dụ 1 để thấy hình ảnh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong thực tiễn.

+ HS lấy thêm một vài ví dụ trong thực tiễn.

- HS suy nghĩ, thảo luận nhóm đôi thực hiện trả lời HĐKP 2.

Từ kết quả HĐKP 2: Nhận thấy nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P) thì d có vuông góc với đường thẳng c bất kì trong (P) hay không?

Ta có định lí quan trọng trong việc chỉ ra 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. - HS khái quát định lí.

+ GV nhấn mạnh: định lí thường sử dụng để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

- HS trình bày, giải thích Ví dụ 2.

- HS thảo luận nhóm đôi trả lời HĐKP 3.

+ a) Dựa vào định lí 1.

+ b) dựa vào tính chất a ⊥ (Q), b ⊥ (R); nhận xét tính chất của a, b với d.

- Từ kết quả HĐKP 3, nhận xét:

+ Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm O và vuông góc với đường thẳng d cho trước?

+ Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước?

- HS khái quát, nêu định lí 2.

- HS giải thích Ví dụ 3, làm Thực hành 1, Vận dụng 1.

+ Thực hành 1: theo đề bài SA ⊥ (ABCD), thì SA vuông góc với các đường nào? Kết hợp hình vuông ABCD. Sử dụng điều đó chứng minh bài toán.

+ b) Nhận thấy các tính chất HK // BD, qua đó để chứng minh HK ⊥ AI, có thể chứng minh BD ⊥ ΑΙ. Phát hiện AI thuộc mặt phẳng nào có thể vuông góc với BD?

+ Vận dụng 1: HS vận dụng định lí 1, 2 để trả lời câu hỏi.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1:

a) vuông góc với ,

b) Dây dọi vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng sàn nhà.

Định nghĩa

Đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong , kí hiệu .

Ví dụ 1 (SGK -tr.57)

HĐKP 2

a) Tam giác và tam giác có là cạnh chung nên (c.c.c).

b) Tam giác cân tại , suy ra vuông góc với , suy ra .

Định lí 1:

Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng thì .

Ví dụ 2 (SGK -tr.58)

HĐKP 3

a) vuông góc với

b) Ta có:

  vuông góc với

Định lí 2:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Ví dụ 3 (SGK -tr.58)

Thực hành 1

a) Ta có và , suy ra (SAB). 

Ta có và , suy ra .

b) Ta có và , suy ra ( . 

Mặt khác, ta có , suy ra , suy ra .

Vận dụng 1

Dựng cột chống vuông góc với hai đoạn thẳng cắt nhau nằm trên sàn nhà.

2. LIÊN HỆ GIỮA TÍNH SONG SONG VÀ TÍNH VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Hoạt động 2: Tìm hiểu mối liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

- GV yêu cầu HS suy nghĩ quan sát làm HĐKP 4.

- Từ đó ta có một số định lí về mối liên hệ giữa tính song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Áp dụng định lí 3, HS giải thích Ví dụ 4.

- Áp dụng định lí 4, HS giải thích Ví dụ 5.

- HS vận dụng định lí làm Thực hành 2.

- GV dẫn dắt HS tìm hiểu Định lí 5, có thể chứng minh 

+ Nếu a//(α) thì tồn tại a' ⊂ (α), a'// a. Khi đó b ⊥ a', nên b ⊥ a.

- HS áp dụng định lí 5, giải thích Ví dụ 6.

- HS làm Thực hành 3, Vận dụng 2

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 4

a) Hai thân cây song song;

b) Mặt đất song song với mặt bàn;

c) Thanh xà song song với mặt sàn nhà.

Định lí 3

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. 

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 4 (SGK -tr.60)

Định lí 4

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ 5 (SGK -tr.61)

Thực hành 2

a) Ta có: ; , suy ra . 

b) và , suy ra .

Ta lại có , suy ra .

Định lí 5

a) Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Đường thẳng nào vuông góc với thì cũng vuông góc với .

b) Nếu đường thẳng và mặt phẳng (không chứa ) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

Ví dụ 6 (SGK -tr.61)

Thực hành 3

a) Tam giác SAB có MN là đường trung bình nên MN//SA

Mà nên Suy ra

Hình thang ABCD có NP là đường trung bình nên NP//BC//AD. Mà nên

Ta có AB vuông góc với hai đường thẳng MN và NP cắt nhau cùng thuộc (MNPQ) nên

b) Vì nên

Tam giác SBC có MQ là đường trung bình nên MQ//BC. Mà SA⊥BC nên SA⊥MQ

Ta có MQ vuông góc với hai đường thẳng SA và AB cắt nhau cùng thuộc (SAB) nên MQ⊥(SAB).

Vận dụng 2

Dùng êke để kiểm tra tính vuông góc giữa trụ chống với hai đường cắt nhau trên tấm gỗ.

3. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

Hoạt động 3: Tìm hiểu phép chiếu vuông góc

- GV yêu cầu HS quan sát, suy nghĩ, trả lời HĐKP 5.

- GV cho HS nhắc lại: Thế nào là phép chiếu song song theo phương l.

Giới thiệu: nếu phương chiếu l vuông góc với mặt phẳng chiếu, thì đó gọi là phép chiếu vuông góc.

- HS phát biểu lại khái niệm phép chiếu vuông góc.

- HS đọc, trình bày Ví dụ 7, tương tự làm Thực hành 4.

+ Để tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, ta xác định đường thẳng qua điểm đó và vuông góc mặt phẳng. Rồi tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt chiếu.

+ Để tìm ảnh của đường thẳng qua phép chiếu vuông góc ta xác định ít nhất hai ảnh của hai điểm trên đường thăng đó lên mặt chiếu.

+ Tương tự tìm ảnh của tam giác xác định ảnh của đỉnh tam giác.

- GV chú ý cho HS về phép chiếu vuông góc

+ Có tính chất của phép chiếu song song.

+ Cách gọi tên về phép chiếu lên (P) và hình chiếu của hình (H).

- HS thực hiện HĐKP 6.

- Từ kết quả của HĐKP 6, ta có mối quan hệ giữa hai đường thẳng a, b và đường thẳng bỏ là hình chiếu vuông góc của b lên mặt phẳng chứa a.

- Áp dụng định lí đã học trình bày Ví dụ 8, Thực hành 5, Vận dụng 3.

+ Thực hành 5: Chứng minh AH ⊥ BC thì ta xác định AH là hình chiếu vuông góc của đường thẳng nào lên mặt phẳng (ABC), có thể sử dụng định lí ba đường vuông góc. Hoặc chứng minh theo đường thăng BC vuông góc mặt phẳng chứa AH.

+ Vận dụng 3: xác định hình chiếu theo phương vuông góc.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 5

Đường thẳng MM’ vuông góc với mặt sàn.

Định nghĩa

Cho mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với . Phép chiếu song song theo phương của lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu vuông góc lên .

Ví dụ 7 (SGK -tr.62)

Thực hành 4

+) Vì nên

Ta có: nên

Vậy hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) là điểm B

+) Ta có: nên

Vậy hình chiếu vuông góc của D lên (SAB) là điểm A

Suy ra hình chiếu vuông góc của CD lên (SAB) là AB; hình chiếu vuông góc của tam giác SCD lên (SAB) là tam giác SAB.

Chú ý:

a) Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

b) Người ta còn dùng “phép chiếu vuông góc lên (P)” và dùng là hình chiếu trên thay cho là hình chiếu vuông góc của trên

*) Định lí ba đường vuông góc

HĐKP 6

a) đi qua hai điểm và ;

b) i) Ta có: (do

  vuông góc với ; 

ii) vuông góc với ;

c) i) Ta có: (do

  vuông góc với ; 

ii) vuông góc với .

Định lí 6

Cho đường thẳng nằm trong mặt phẳng và là đường thẳng không nằm trong và không vuông góc với . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó vuông góc với khi và chỉ khi vuông góc với .

Ví dụ 8 (SGK -tr.63)

Thực hành 5

Vì nên Suy ra

nên AH là hình chiếu vuông góc của OA trên (ABC).

Lại có

Suy ra .

Vận dụng 3

Buộc hai dây dọi vào hai đầu A, B của đoạn thẳng AB. Đánh dấu điểm A’ và B’ là chỗ hai quả dọi tiếp đất. Ta có A’B’ là hình chiếu của AB.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a 1 (P). Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Nếu b ⊥ (P) thì b // a.

B. Nếu b // (P) thì b ⊥ a.

C. Nếu b // a thì b ⊥ (P).

D. Nếu b ⊥ a thì b // (P).

Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hai đường thăng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thăng thì song song nhau.

Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ABC vuông ở B, AH là đường cao của ASAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC.

В. АН ⊥ ВС.

C. AH ⊥ AC.

D. AH ⊥ SC.

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: D

Câu 2: C

Câu 3: C

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, = 90°, = 60° và = 120°. Gọi I là trung điểm cạnh AC. Chứng minh SI ⊥ (ABC) .

Câu 2: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có cạnh bên AA′ vuông góc với đáy (Hình 24). Cho biết AB = AC = 2,4 m; BC = 2 m; AA′ = 3 m

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC; A ′B′ và AC.

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB ′CC′ ) .