Giáo án dạy thêm toán 11 cánh diều bài: Bài tập cuối chương II

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1. Cho dãy số xác định bởi . Số hạng thứ 201 của dãy số có giá trị bằng bao nhiêu?

Bài 2. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

Bài 3. Cho dãy số  xác định bởi . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số

Bài 4. Cho dãy số  xác định bởi  và . Số hạng thứ  của dãy là số hạng nào?

Bài 5. Cho dãy số xác định bởi  và . Số  là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

Bài 6. Cho dãy số  với . Dãy số  là dãy số tăng khi ?

Bài 7. Cho dãy số  xác định bởi  và

. Tìm số nguyên dương  nhỏ nhất sao cho .

Bài 8. Cho dãy số thỏa mãn

khi  có giá trị nguyên dương lớn nhất.

Bài 1.

Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.

Ta có .

Từ đây chúng ta có thể dự đoán . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Với  thì  và . Vậy đẳng thức đúng với .

Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là chứng minh

 .

Thật vậy, ta có  (theo hệ thức truy hồi).

Theo giả thiết quy nạp thì  nên .

Vậy đẳng thức đúng với . Suy ra .

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu  thì .

Ta có  nên .

Bài 2.

Ta có .

Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được . Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được .

Bài 3.

Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số .

Đặt  khi đó .

Từ hệ thức truy hồi  

suy ra .

Như vậy ta có .

Ta có  ; . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng , suy ra . Do đó

Bài 4.

+ Ta có .

Do đó ta có  và .

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ,

ta có .

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

.

+ Ta có .

Do đó ta có:  và .

Từ hệ thức truy hồi của dãy số , ta có .

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:

.

+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:

.

Do đó số hạng tổng quát của dãy số  là .

Vậy suy ra .

Bài 5.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số  ta có:

.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số  là .

Giải phương trình  ta được

Bài 6.

Ta có  Xét hiệu

là dãy tăng khi và chỉ khi

Bài 7.

Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy  ta được

Từ đây ta dự đoán được

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được  Vậy số nguyên dương cần tìm là

Bài 8.

Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

Suy ra

Do đó  

Vậy  

Vì  nên

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để  là