Giáo án dạy thêm toán 11 cánh diều bài: Bài tập cuối chương III

Ngày soạn: .../.../...
Ngày dạy: .../.../...
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III
Nhiệm vụ 1: GV phát phiếu bài tập, nêu phương pháp giải, cho học sinh làm bài theo nhóm bằng phương pháp khăn trải bàn.
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1
Bài 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a; b). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là ?
Bài 2.
a) Tính giới hạn lim⁡〖(2n+1)/(3n+2)〗.
b) Tính giới hạn A=lim┬(x→1) (x^3-1)/(x-1).
Bài 3.
a) Giá trị của lim┬(x→1) (3x^2-2x+1) bằng:
b) lim┬(x→+∞) (x-2)/(x+3) bằng?
Bài 4.
a) Cho hàm số f(x)={█(&(e^ax-1)/x " khi" x≠0@&1/2 " khi" x=0)┤
Tìm giá trị của a để hàm số liên tục tại x_0=0.
b) Cho hàm số f(x)={█(&(x^2+x-2)/(x-1) " khi " x≠1@&3m" khi " x=1)┤. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại x=1.
Bài 5.
a) Cho I=lim┬(x→0) 2(√(3x+1)-1)/x và J=lim┬(x→-1) (x^2-x-2)/(x+1). Tính I-J.
b) Tính giới hạn lim⁡[1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/n(n+1) ].
Bài 6.
a) Cho hàm số f(x)={■(3x+a-1&"khi" &x≤0@(√(1+2x)-1)/x &"khi" &x>0)┤. Tìm tất cả giá trị của a để hàm số đã cho liên tục trên R.
b) Cho hàm số f(x)={■((x^2-4)/(x-2) &"khi" &x≠2@m^2+3m&"khi" &x=2)┤. Tìm m để hàm số liên tục tại
x_0=2.
Bài 7.
a) Cho hàm số f(x)={█(&2x+m" khi " x≤0@&(√(1+4x)-1)/x " khi " x>0)┤. Tìm tất cả các giá trị của m để tồn tại giới hạn lim┬(x→0) f(x).
b) Cho lim┬(x→-∞) (a√(x^2+1)+2017)/(x+2018)=1/2; lim┬(x→+∞) (√(x^2+bx+1)-x)=2. Tính P=4a+b.
- HS hình thành nhóm, phân công nhiệm vụ, thảo luận, tìm ra câu trả lời.
- GV cho đại diện các nhóm trình bày, chốt đáp án đúng và lưu ý lỗi sai.
Gợi ý đáp án:
Bài 1.
Hàm số f xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b), đồng thời lim┬(x→a^+ ) f(x)=f(a) và lim┬(x→b^- ) f(x)=f(b).
Bài 2.
a) Ta có lim⁡〖(2n+1)/(3n+2)〗=lim⁡〖(2+1/n)/(3+2/n)〗=2/3.
b) A=lim┬(x→1) (x^3-1)/(x-1)=lim┬(x→1) (x-1)(x^2+x+1)/(x-1)=lim┬(x→1) (x^2+x+1)=3
Bài 3.
a) lim┬(x→1) (3x^2-2x+1)=3.1^2-2.1+1=2.
b) Chia cả tử và mẫu cho x, ta có lim┬(x→+∞) (x-2)/(x+3)=lim┬(x→+∞) (1-2/x)/(1+3/x)=1/1=1.
Bài 4.
a) Tập xác định: D=R.
lim┬(x→0) f(x)=lim┬(x→0) (e^ax-1)/x=lim┬(x→0) (e^ax-1)/ax.a=a.
f(0)=1/2; hàm số liên tục tại x_0=0 khi và chỉ khi: lim┬(x→0) f(x)=f(0)⇔a=1/2.
b) Tập xác định của hàm số là R.
Hàm số gián đoạn tại x=1 khi lim┬(x→1) f(x)≠f(1)⇔lim┬(x→1) (x^2+x-2)/(x-1)≠3m
⇔lim┬(x→1) (x-1)(x+2)/(x-1)≠3m⇔lim┬(x→1) (x+2)≠3m⇔3≠3m⇔m≠1.
Bài 5.
a) Ta có:
I=lim┬(x→0) 2(√(3x+1)-1)/x=lim┬(x→0) 6x/x(√(3x+1)+1) =lim┬(x→0) 6/(√(3x+1)+1)=3.
J=lim┬(x→-1) (x^2-x-2)/(x+1)=lim┬(x→-1) (x+1)(x-2)/(x+1)=lim┬(x→-1) (x-2)=-3.
Khi đó I-J=6.
b) Ta có:
1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/n(n+1) =1/1-1/2+1/2-1/3+⋯+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1).
Vậy lim⁡[1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/n(n+1) ] =lim⁡(1-1/(n+1))=1.
Bài 6.
a) Tập xác định D=R.
Ta có: Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;0) và (0;+∞).
lim┬(x→0^- ) f(x)=lim┬(x→0^- ) (3x+a-1)=a-1.
lim┬(x→0^+ ) f(x)=lim┬(x→0^+ ) (√(1+2x)-1)/x=lim┬(x→0^+ ) 2/(√(1+2x)+1)=1.
f(0)=a-1.
Hàm số liên tục trên R⇔ Hàm số liên tục tại điểm x=0⇔a-1=1⇔a=2.
b) Tập xác định D=R.
Ta có lim┬(x→2) f(x)=lim┬(x→2) (x^2-4)/(x-2)=lim┬(x→2) (x+2)=2+2=4.
Hàm số đã cho liên tục tại x_0=2 khi và chỉ khi lim┬(x→2) f(x)=f(2)
⇔4=m^2+3m⇔m^2+3m-4=0⇔[█(&m=1@&m=-4)┤.
Bài 7.
a) Ta có lim┬(x→0^- ) f(x)=lim┬(x→0^- ) (2x+m)=m
lim┬(x→0^+ ) f(x)=lim┬(x→0^+ ) (√(1+4x)-1)/x=lim┬(x→0^+ ) 4/(√(1+4x)+1)=2
Tồn tại giới hạn lim┬(x→0) f(x) khi và chỉ khilim┬(x→0^- ) f(x)=lim┬(x→0^+ ) f(x)⇔m=2.
b) Ta có: lim┬(x→-∞) (a√(x^2+1)+2017)/(x+2018)=lim┬(x→-∞) x(-a√(1+1/x^2 )+2017/x)/x(1+2018/x) =lim┬(x→-∞) (-a√(1+1/x^2 )+2017/x)/(1+2018/x) =-a.
Nên -a=1/2 ⇔a=-1/2.
Ta có: lim┬(x→+∞) (√(x^2+bx+1)-x)=lim┬(x→+∞) (√(x^2+bx+1)-x)(√(x^2+bx+1)+x)/(√(x^2+bx+1)+x)
=lim┬(x→+∞) (bx+1)/x(√(1+b/x+1/x^2 )+1) =lim┬(x→+∞) x(b+1/x)/x(√(1+b/x+1/x^2 )+1) =lim┬(x→+∞) (b+1/x)/(√(1+b/x+1/x^2 )+1)=b/2.
Nên b/2=2 ⇔b=4.
Vậy P=4(-1/2)+4=2.

Nhiệm vụ 2: GV phát phiếu bài tập, cho học sinh nêu cách làm, GV đưa ra phương pháp giải và cho học sinh hoàn thành bài tập cá nhân và trình bày bảng.
PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2
Bài 1.
a) Xác định sự tồn tại của lim┬(x→0) |x|/x^2 .
b) Cho hàm số y=f(x)={█(&(2-√(x+3))/(x^2-1) " khi " x≠1@&1/8 " khi " x=1 )┤. Tính lim┬(x→1^- ) f(x).
Bài 2.
a) Tìm giới hạn I=lim┬(x→+∞) (x+1-√(x^2-x+2)).
b) Biết lim┬(x→1) (√(x^2+x+2)-∛(7x+1))/(√2 (x-1) )=(a√2)/b+c với a, b, c ∈Z và a/b là phân số tối giản. Giá trị của a+b+c bằng?
Bài 3.
a) Cho hàm số y=f(x)=(2√(1+x)-∛(8-x))/x. Tính lim┬(x→0) f(x).
b) Tính lim⁡√((1^2+2^2+3^3+...+n^2)/2n(n+7)(6n+5) )
Bài 4.
a) Tìm L=lim⁡(1/1+1/(1+2)+...+1/(1+2+...+n))
b) Cho hàm số f(x)={█(&(ax^2-(a-2)x-2)/(√(x+3)-2) " khi " x≠1@&8+a^2 " khi " x=1)┤. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số liên tục tại x=1?
Bài 5.
a) Biết lim┬(x→+∞) (√(4x^2-3x+1)-(ax+b))=0. Tính a-4b ta được
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn c^2+a=18 và lim┬(x→+∞) (√(ax^2+bx)-cx)=-2. Tính P=a+b+5c.
Bài 6.
a) Cho hàm số f(x)={■(█(&sin⁡x@&1+cos⁡x )&█(&nếu@&nếu)&█(&cos⁡x≥0@&cos⁡x<0))┤. Hỏi hàm số f có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng (0;2018)?
b) Cho hàm số f(x)=x+x^2+x^3+...+x^2018. Tính L=lim┬(x→2) (f(x)-f(2))/(x-2).
Bài 7. Cho dãy số (u_n ) xác định bởi u_1=0 và u_(n+1)=u_n+4n+3, ∀n≥1. Biết
lim⁡〖(√(u_n )+√(u_4n )+√(u_(4^2 n) )+...+√(u_(4^2018 n) ))/(√(u_n )+√(u_2n )+√(u_(2^2 n) )+...+√(u_(2^2018 n) ))〗=(a^2019+b)/c
với a, b, c là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+b-c.