Giáo án dạy thêm Toán 11 cánh diều Bài tập cuối chương 7

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b với a < b. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất?

Bài 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất,  ngang qua cột đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.

Bài 3. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V (m³) không đổi, hệ số k > 0 cho trước ( k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Bài 4. Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10USD một cái một năm. Để đặt hàng nhà sản xuất thì mỗi lần chi phí cố định là  20USD, cộng thêm 9USD. Biết rằng số lượng tivi trung bình gửi trong kho bằng một

nửa số tivi của mỗi lần đặt hàng. Như vậy cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất bao  nhiêu lần mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là thấp nhất?

Bài 5. Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản phẩm, biết nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là , trong đó Q là số sản phẩm và P là giá bán của một sản phẩm. Hãy xác định mức thuế t cần định trên một đơn vị sản phẩm sản xuất ra sao cho thu được lợi nhuận là cao nhất?

Bài 1.

Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện

Khi đó thể tích hình hộp là:

Bài toán trở thành tìm

ĐẠo hàm

Ta có:

Do đó:  luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí Vi-ét:

Suy ra:

Hơn nữa, ta có: .

Do đó

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt GTLN khi

Bài 2.

Đặt . Theo định lí Talet có:

Do đó ta có:

Do  vuông tại B

Hay  Đặt

Bài toán trở thành tìm  Với x > 0

Ta có:

Cho  

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Do đó

Bài 3.

Gọi  lần lượt là chiều rộng và chiều dài cửa đáy hố ga.

Gọi h là chiều cao của hố ga (

Theo đề bài ta có:  và

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất

Khi đó ta có:

Suy ra  Xét hàm số

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của  với

, cho

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Khi đó  và

Bài 4.

Gọi x là số tivi mỗi lần đặt hàng thì

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là . Do đó, chi phí gửi hàng trong khi mỗi năm sẽ là

Số lần dặt hàng mỗi năm là

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm là

Suy ra, chi phí hàng tồn khi là

Bài toán trở thành tìm GTNN của

Ta có:  

Do  nên

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là  lần

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 25 lần mỗi năm và

100 cái mỗi lần.

Bài 5.

Gọi Q là số sản phầm mà doanh nghiệp cần sản xuất

Khi ấy ta có

Gọi t là mức thuế cần định trên một đơn vị sản phẩm sao cho thuế thu được là cao

nhất. Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là

Doanh thu mà doanh nghiệp có được sẽ là

Suy ra lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được là:

=>

 Để công ty nộp thuế cao nhất trước hết lợi nhuận thu được của doanh nhiệp là cao nhất, khi đó ta cần   

Theo đề bài ta có:   

Với mức thuế (đơn vị tiền tệ) cho 1 đơn vị sản phẩm thì doanh nghiệp sẽ thu được lợi nhuận cao nhất là