Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 5: Dãy số

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân P_n (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức P_n = 500(1 + 0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5: DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

Định nghĩa dãy số

Cách cho một dãy số

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Dãy số vô hạn

                      Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Trả lời:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u₁ = 0² = 0; Số chính phương thứ hai là u₂ = 1² = 1

Số chính phương thứ ba là u₃ = 2² = 4; Số chính phương thứ tư là u₄ = 3² = 9

Số chính phương thứ năm là u₅ = 4² = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n = (n – 1)² với n ∈ ℕ^*.

KẾT LUẬN

• Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .
• Ta thường viết thay cho u(n) và ký hiệu dãy số  bởi , do đó dãy số  được viết dưới dạng khai triển ... Số  gọi là số hạng đầu,  là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
• Chú ý: Nếu thì  được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1:

Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:

7. a) Dãy số các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: 1, 3, 5, 7...
8. b) Dãy số các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn: 5, 10, 15, 20,...

Giải

1. a) Dãy số có số hạng đầu và số hạng tổng quát
2. b) Dãy số có số hạng đầu và số hạng tổng quát

Dãy số hữu hạn

HĐ 2:

1. a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
2. b) Viết công thức số hạng của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của .

Trả lời:

1. a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

8. b) Ta có: u_n= (n – 1)²với n ∈ ℕ^* và n ≤ 8.

KẾT LUẬN

• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m} với được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số gọi là số hạng đầu, số  gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2:

Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

1. a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
2. b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Giải

19. a) Các số hạng của dãy số là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
20. b) Số hạng đầu của dãy số này là 1 và số hạng cuối của dãy số là 19.

LUYỆN TẬP 1

1. a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
2. b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Giải

1. a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n + 1 (n ∈ ℕ^*).

26. b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

    Số hạng đầu của dãy là u₁ = 6, số hạng cuối của dãy là u₅ = 26.

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

HĐ 3:

Xét dãy số  gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

5; 10; 15; 20; 25; 30;…

1. a) Viết công thức số hạng tổng quát của dãy số.
2. b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ theo số hạng thứ của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Trả lời:

1. a) Số hạng tổng quát của dãy số là u
2. b) Số hạng đầu của dãy số là

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ là

KẾT LUẬN

Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát.
• Phương pháp mô tả.
• Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số  cho bởi công thức số hạng tổng quát sau:

Giải

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10

Số hạng thứ 100 của dãy số là:  

1. b) Năm số hạng đầu của dãy số là:

Số hạng thứ 100 của dãy số là:

Ví dụ 4:  Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.

Giải

Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 3, 5, 7, 11.

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý. Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo một vài số nguyên tố đứng trước nó.

Ví dụ 5:  Cho dãy số  xác định bằng hệ thức truy hồi

 với

               Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Giải

Ta có

Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 6:

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

Giải

Ở đây ta có . Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là:

 (nghìn người)

LUYỆN TẬP 2