Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

CHÀO MỪNG CÁC EM

ĐÃ ĐẾN VỚI BUỔI HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực (như một số vùng phía bắc của Na Uy, Phần Lan, Nga, ...), Mặt Trời có thể được nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày. Hình học giải thích hiện tượng này như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

Phép chiếu vuông góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

HĐ 1

Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

1. a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song hay không?
2. b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?

Giải

1. a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.
2. b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

KẾT LUẬN

Phép chiếu song song lên mặt phẳng  theo phương ∆ vuông góc với  được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng  .

Chú ý:

• Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
• Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng còn được gọi là phép chiếu lên mặt phẳng  Hình chiếu vuông góc  của hình  trên còn được gọi là hình chiếu của  trên

1. a) Nếu là một điểm không thuộc mặt phẳng và  là hình chiếu của  trên  thì đường thẳng  có quan hệ gì với mặt phẳng ?
2. b) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu của  trên  là gì?

Trả lời:

1. a) vuông góc với mặt phẳng
2. b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm của  và

HĐ 2

Cho đường thẳng  và mặt phẳng  không vuông góc với nhau. Xét  là một đường thẳng nằm trong  . Trên , lấy hai điểm  tuỳ ý. Gọi tương ứng là hình chiếu của  trên      mặt phẳng  (H.7.34).

1. a) Hình chiếu của trên mặt phẳng là đường thẳng nào?
2. b) Nếu vuông góc với thì  có vuông góc với  hay không?
3. c) Nếu vuông góc với thì  có vuông góc với  hay không?

Giải

1. a) Hình chiếu vuông góc của trên là đường thẳng
2. b)
3. c)

• Định lí ba đường vuông góc

Cho đường thẳng  và mặt phẳng  không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  và vuông góc với đường thẳng  khi và chỉ khi  vuông góc với hình chiếu vuông góc  của   trên

Ví dụ 1: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A, B, C, D, người ta dựng các cột thẳng đứng AM, BN, CP, DQ và nối các sợi dây thẳng giữa M và P, N và Q như Hình 7.35.

1. a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ trên sân.
2. b) Chứng minh rằng nếu BD AC thì BD
3. c) Chứng minh rằng nếu ABCD là một hình bình hành thì các trung điểm E, F tương ứng của các đoạn thẳng MP và NQ có cùng hình chiếu trên sân.

Giải

1. a) Do các cột có phương thẳng đứng và sân thuộc mặt phẳng nằm ngang nên các cột vuông góc với sân. Vậy A, B, C, D tương ứng là hình chiếu của M, N, P, Q trên sân. Do đó AC, BD tương ứng là hình chiếu của MP, NQ trên sân.
2. b) Nếu BD AC, mà AC là hình chiếu của MP trên sân và BD thuộc sân nên theo định lí ba đường vuông góc ta có BD
3. c) Nếu ABCD là một hình bình hành thì các đoạn thẳng AC, BD có chung trung điểm O.

Do EO là đường trung bình của hình thang ACPM nên EO // MA.

Mặt khác, MA vuông góc với sân nên EO cũng vuông góc với sân.

Vậy O là hình chiếu của E trên sân. Tương tự, O cũng là hình chiếu của F trên sân.

Vậy E và F có cùng hình chiếu trên sân.