Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn  không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

NỘI DUNG BÀI HỌC

1. Khái niệm phương trình tương đương
2. Phương trình
3. Phương trình
4. Phương trình
5. Phương trình
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó.
7. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

HĐ 1:

Cho hai phương trình  và . Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên

Trả lời:

• Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm .

• Phương trình:

Vậy phương trình có tập nghiệm .

Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập nghiệm .

KẾT LUẬN

• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
• Nếu phương trình tương đương với phương trình  thì ta viết:

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

Ví dụ 1:

Hai phương trình sau có tương đương không?

 và

Giải

Tập nghiệm của phương trình  là  

Phương trình  được viết lại thành ,

do đó tập nghiệm của nó là  

Vậy hai phương trình trên là tương đương.

LUYỆN TẬP 1

Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

và

Giải

• Phương trình:
• ĐKXĐ: .
• Ta có: (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

• Phương trình:
• Ta có:
•  

Vậy tập nghiệm phương trình là:

Ta nhận thấy hai phương trình này không phải phương trình tương đương.

Chú ý:

- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

- Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điềukiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

1. a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

1. b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:

2. PHƯƠNG TRÌNH

HĐ 2:

1. a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng .
2. b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Giải

1. a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc và , lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng nên theo định nghĩa gái trị lượng giác, ta có  và .

Vậy trong nửa khoảng , phương trình  có 2 nghiệm là  và .

1. b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là:

• Minh hoạ bằng đồ thị:

Nghiệm của phương trình  là hoành độ các giao điểm của đường thẳng  và đồ thị hàm số .

Tổng quát, xét phương trình  (*)

• Nếu thì phương trình (*) vô nghiệm vì  với mọi .
• Nếu thì tồn tại duy nhất  thỏa mãn . Khi đó, trên đoạn có độ dài là  là , phương trình (*) có các nghiệm  và .

Do tính tuần hoàn với chu kì  của hàm sin, ta chỉ cần cộng vào các nghiệm này các bội nguyên của  thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình (*).

KẾT LUẬN

• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
• Khi , sẽ tồn tại duy nhất thỏa mãn .

    Khi đó

Chú ý:

1. a) Nếu số đo của góc được cho bằng đơn vị độ thì:

 )

1. b) Một số trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 2: