Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 6: Cấp số cộng

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐÃ ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG

Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế ở hàng thứ nhất, 18 ghế ở hàng thứ hai, 20 ghế ở hàng thứ 3 và cứ tiếp tục theo quy luật đó, tức là hàng sau nhiều hơn hàng liền trước nó 2 ghế. Tính tổng số ghế của nhà hát đó?

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

Định nghĩa

Số hạng tổng quát

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ 1:

Cho dãy số  gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần

1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
2. b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng theo số hạng 

Trả lời:

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là:

1; 3; 5; 7; 9

1. b) Nhận thấy trong dãy số (u_n), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng u_n theo số hạng u_{n – 1} là

u_n = u_{n – 1} + 2

KẾT LUẬN

• Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Cấp số cộng với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

 với .

CÂU HỎI

Dãy số không đổi a, a, a, … Có phải là một cấp số cộng không?

Giải

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

 Đây là một dãy số hằng.

Ví dụ 1:

Cho cấp số cộng  có số hạng đầu  và công sai . Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này. 

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là:

Ví dụ 2:

Cho cấp số cộng  với  Chứng minh rằng  là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu  và công sai d của nó.  

Giải

Ta có , với mọi .

Do đó  là cấp số cộng có số hạng đầu  và công sai .

LUYỆN TẬP 1

Cho dãy số  với . Chứng minh rằng  là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Giải

Ta có:

Do đó  , với mọi .

Vậy dãy số  là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai .

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

HĐ 2:

Cho cấp số cộng  với số hạng đầu và công sai .

1. a) Tính các số hạng theo và .
2. b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát theo và .

Trả lời:

1. a) Ta có: u₂= u₁+ d;

u₃ = u₂ + d = (u₁ + d) + d = u₁ + 2d;

u₄ = u₃ + d = (u₁ + 2d) + d = u₁ + 3d;

u₅ = u₄ + d = (u₁ + 3d) + d = u₁ + 4d.

1. b) Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u_n

theo u₁ và d là:

u_n = u₁ + (n – 1)d.

KẾT LUẬN

Nếu cấp số cộng  có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát  của nó được xác định theo công thức:

.

Ví dụ 3:

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số cộng

:

Giải

Cấp số cộng này có số hạng đầu  và công sai

Do đó năm số hạng đầu là:

Số hạng thứ 100 là  

Ví dụ 4:

Số hạng thứ 10 của một cấp số cộng  bằng 48 và số hạng thứ 18 bằng 88. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng đó.

Giải

Giả sử  là số hạng đầu và là công sai của cấp số cộng đó. Ta có:

Giải hệ này ta được  và .

Vậy số hạng thứ 100 của cấp số cộng này là

LUYỆN TẬP 2

Cho dãy số  với . Chứng minh rằng  là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu  và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát  dưới dạng 

Giải

Ta có: u_n – u_{n – 1} = (4n – 3) – [4(n – 1) – 3]

                          = 4n – 3 – (4n – 4 – 3) = 4, với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số (u_n) là một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 . 1 – 3 = 1 và công sai d = 4.

Số hạng tổng quát là: u_n = 1 + (n – 1) . 4

3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

HĐ 3:

Cho cấp số cộng  với số hạng đầu  và công sai 

Để tính tổng của  số hạng đầu

Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

1. a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng  theo số hạng đầu và công sai .
2. b) Viết  theo thứ tự ngược lại: và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo   và 
3. c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính  theo  và .

Trả lời: