Giáo án Toán 12 kết nối Bài 11: Nguyên hàm

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐ 1.

- GV giới thiệu về đẳng thức .

Khi đó được gọi là một nguyên hàm của hàm số .

- Từ đó giới thiệu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.  

Nhấn mạnh: với mọi thuộc

- GV đặt câu hỏi:

Nếu thì được hiểu như thế nào?

Ta có chú ý. Nhấn mạnh: sự khác biệt giữa đẳng thức với mọi   thuộc là một khoảng, nửa khoảng, một đoạn.

- GV hướng dẫn Ví dụ 1:  Lưu ý HS thực hiện lần lượt tính đạo hàm của các hàm số đã cho.

+ Yêu cầu HS đối chiếu định nghĩa nguyên hàm để kết luận và giải thích được cho kết luận đưa ra.

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương tự. Tính đạo hàm .

Nhận biết nguyên hàm của

- HS thực hiện HĐ 2.

- Từ đó GV cho HS thấy tập hợp các nguyên hàm của hàm số   đã cho có dạng , với C là hằng số và là một nguyên hàm nào đó của

- GV giới thiệu khái niệm họ nguyên hàm, kí hiệu.

Làm rõ: kí hiệu nguyên hàm phải có thể hiện tìm nguyên hàm theo biến

- GV chú ý cho HS. Nhấn mạnh:

+ Cách tìm họ nguyên hàm.

+ Sự tồn tại của nguyên hàm trên một khoảng.

- HS quan sát Ví dụ 2: Khi tìm được một nguyên hàm của thì làm thế nào để tìm được họ nguyên hàm của nó?

- HS làm tương tự với Luyện tập 2. 

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Nguyên hàm của một hàm số

HĐ 1:

a) Ta có .
b) Ta có .

Kết luận

Cho hàm số xác định trên một khoảng (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số được gọi là một nguyên hàm của hàm số trên nếu với mọi thuộc .

Chú ý:

Trường hợp thì các đẳng thức và được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm và đạo hàm bên trái tại điểm của hàm số , tức là

Ví dụ 1 (SGK -tr.5)

Luyện tập 1

Ta có ,  .

Vậy là một nguyên hàm của trên khoảng

Hàm số không là nguyên hàm của trên khoảng .

HĐ 2:

a) Vì nên hàm số là một nguyên hàm của hàm số trên .

b) Vì nên hàm số (với là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số trên .

Kết luận

Giả sử hàm số là một nguyên hàm của trên . Khi đó:
a) Với mỗi hằng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên ;
b) Nếu hàm số là một nguyên hàm của trên thì tồn tại một hằng số sao cho với mọi .

Như vậy, nếu là một nguyên hàm của trên thì mọi nguyên hàm của trên đều có dạng ( là hằng số). Ta gọi là họ các nguyên hàm của trên , kí hiệu bới .

Chú ý:

a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số trên , ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của trên và khi đó

b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số liên tục trên khoảng thì có nguyên hàm trên khoảng đó.

c) Biểu thức gọi là vi phân của nguyên hàm , kí hiệu là . Vậy .
d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định của nó.

Ví dụ 2 (SGK -tr.6)

Luyện tập 2

Vì nên là một nguyên hàm của hàm số trên .
Do đó, .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 3:

Áp dụng khái niệm họ nguyên hàm để biểu diễn và 

từ đó so sánh.

- HS phát biểu tính chất. GV làm rõ phép nhân hằng số với họ nguyên hàm.

- HS quan sát Ví dụ 3: sử dụng kết quả ví dụ 2 và tính chất vừa học, ta đưa hệ số ra ngoài dấu nguyên hàm.

- HS thực hiện Luyện tập 3.

+ a) chứng minh nguyên hàm bằng cách đạo hàm hàm Từ đó tìm họ nguyên hàm.

+ b) sử dụng tính chất tìm

- HS thực hiện HĐ 4.

Từ kết quả HĐ 4, ta có tính chất của nguyên hàm.

- HS phát biểu tính chất.

- HS đọc hiểu Ví dụ 4: sử dụng kết quả của luyện tập 3 và tính chất vừa học, ta đưa các nguyên hàm cần tính về tổng (hiệu) các nguyên hàm.

Gợi ý sử dụng .

- HS làm Luyện tập 4.

b) Ta có thể viết hàm dưới dạng tổng các đơn thức được không?

- HS quan sát Ví dụ 5: GV hướng dẫn.

+ Bước 1: Viết phương trình chuyển động (mô hình hoá bài toán).

+ Bước 2: Tìm nguyên hàm từ phương trình chuyển động để có biểu thức tỉnh quãng đường khi biết biểu thức vận tốc (sử dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm).

+ Bước 3: Thay các giá trị tại thời điểm ban đầu (khi máy bay bắt đầu chạy đà) và khi cất cánh. Từ đó tính ra quãng đường chạy đà.

- HS thực hiện Vận dụng, thảo luận nhóm đôi.

Vận dụng ý nghĩa của đạo hàm đã học ở lớp dưới, thì tốc độ biến đổi của doanh thu là .

Vận dụng nguyên hàm, muốn tìm doanh thu ta tìm nguyên hàm của

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

HĐ 3

a) Ta có:

Vậy là một nguyên hàm của hàm số trên

b) Ta có

hay [k
.
Vậy .

Kết luận

Ví dụ 3 (SGK -tr.6)

Luyện tập 3

a) Vì nên hàm số 

là một nguyên hàm của hàm số .
Ta có .
b) Ta có .

HĐ 4:

a) Ta có: ; .

 .
Do đó là một nguyên hàm của hàm số trên .
b) 

+) Ta có với là hằng số bất kì.

+) Có với là các hằng số bất kì.

Do

Do đó .
(Viết . 

Vậy .

Kết luận

.

.

Ví dụ 4 (SGK-tr.7)

Luyện tập 4

a) .
b) Ví dụ 5 (SG -tr.7)

Vận dụng

nên là một nguyên hàm của

+) Ta có:
.
+) Vì nên .
Do đó .
+) Doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp là:
(triệu đồng).