Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

 GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tính đơn điệu của hàm số” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Nêu khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

• Thực hiện các ví dụ.

• Nhắc lại cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Định nghĩa

Cho hàm số  xác định trên tập .

• Số   được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  trên  nếu  với mọi  thuộc  và tồn tại  sao cho . 

Kí hiệu  hoặc .

• Số   được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên tập  nếu  với mọi   và tồn tại   sao cho

Kí hiệu hoặc

Chú ý: Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  (mà không cho rõ tập hợp ) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên tập xác định của nó.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

- Tập xác định:

- Ta có:  với mọi .

Mặt khác:

Vậy .

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên khoảng .

Ta có:

Bảng biến thiên:

Suy ra , hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Giả sử  là hàm số liên tục trên  và có đạo hàm trên , có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn  mà đạo hàm  bằng 0.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn

Bước 1: Tìm các điểm  thuộc khoảng  mà tại đó  bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính  .

Bước 3: Tìm số lớn nhất  và số nhỏ nhất  trong các số trên. Ta có:

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn .

- Ta có:

Ta có: .

Vậy , .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên

Phương pháp giải:

• Giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn

Hàm số  liên tục trên đoạn  và . Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số  là .

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn

Hàm số  liên tục trên đoạn  và . Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số  là .

• Hàm số  đồng biến trên đoạn  thì ; .

• Hàm số  nghịch biến trên đoạn  thì ; .

Bài 1. Cho hàm số  liên tục trên đoạn   và có đồ thị như hình vẽ. Gọi  và  lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn . Tính giá trị của biểu thức

Bài 2: Cho hàm số  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên .

Bài 3: Cho hàm số  có bảng biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng bao nhiêu?

Bài 4: Cho hàm số  xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi  và  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Tính giá trị của .

Bài 5: Cho hàm số  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  trên .

Bài 6: Cho hàm số  liên tục trên tập  và có bảng biến thiên như sau:

Gọi  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  trên đoạn . Tìm tổng . 

DẠNG 1:

Bài 1:

Từ đồ thị ta thấy: .

Giá trị của biểu thức  với  là:

Bài 2:

Trên đoạn  ta có giá trị lớn nhất của hàm số là 3 khi  và giá trị nhỏ nhất của hàm số là  khi . 

Khi đó, tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là: .

Bài 3:

Đặt  ()

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn

Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn  là 3 khi  hay .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số  bằng 3.

Bài 4:

Đặt . Vì

Xét hàm số  với .

Từ đồ thị đã cho, ta có:

Vậy giá trị của .

Bài 5:

Đặt .

Ta có:

.

Xét .

Dựa vào đồ thị ta có: .

Bài 6:

Đặt  với

Ta có:

Xét hàm số  với

Từ bảng biến thiên suy ra:

Do đó: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. 

Phương pháp giải:

Bước 1: Hàm số đã cho  xác định và liên tục trên đoạn . Tìm các điểm  trên khoảng , tại đó  hoặc  không xác định.

Bước 2: Tính .

Bước 3: Khi đó: .

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)  trên đoạn .

b)  trên đoạn

c)  trên đoạn .

d)  trên đoạn

Bài 3: Gọi  lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn . Tính tổng .

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên .

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  trên đoạn . 

DẠNG 2:

Bài 1:

a)

Điền kiện xác định:

Xét hàm số  trên

Có

Có: .

Vậy

b)

Điều kiện xác định:

Xét hàm số trên

Có

Ta có:

Vậy .

c)

Điều kiện xác định:  

Xét hàm số  trên

Có

Ta có:

Vậy .

d)

Đặt

Khi đó

Xét hàm số  trên  có

Suy ra  là hàm số đồng biến trên

Vậy .

Bài 2:

a)

Có ,

Ta có:

Vậy .

b)

Có ,

Ta có: .

Vậy .

c)

Tập xác định:

Hàm số  xác định và liên tục trên đoạn .

Ta có:

Khi đó:

Vậy .

d)

Ta có: ,

Khi đó: .

Vậy .

Bài 3:

Điều kiện xác định:

Ta có: ,

Khi đó:

Vậy .

Suy ra

Bài 4:

Đặt

Có: .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là .

Bài 5:

Hàm số  xác định và liên tục trên đoạn .

+ Nếu  thì  nên suy ra

Có

Khi đó: .

+ Nếu  thì  nên suy ra

Có .

Khi đó:

So sánh hai trường hợp, ta được: .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính đạo hàm .

Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm  của phương trình   và tất cả các điểm   làm cho  không xác định.

Bước 3: Tính .

Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận .

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a)   trên khoảng .

b)   trên khoảng .

c)  

d)  

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  với  thuộc .