Giáo án và PPT Toán 8 chân trời Bài 3: Hình thang – Hình thang cân

CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÝ PYTHAGORE. CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 3. HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Cho hình thang cân ABCD ( AB//CD,AB < CD ). Kẻ đường cao AH,BK của hình thang. Chứng minh rằng DH = CK.?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1. Hình thang, hình thang cân

GV đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh tìm hiểu:Hình thang cân là?

  Sản phẩm dự kiến:

HĐKP1:

Nhận xét: Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau.

Kết luận: 

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình trên là hình thang ABCD với AB // CD. Ta có:

- Các đoạn thẳng AB, CD gọi là các cạnh đáy (hoặc đáy).

Nếu AB < CD thì AB gọi là đáy nhỏ, CD gọi là đáy lớn.

- Các đoạn thẳng AD, BC gọi là các cạnh bên. 

- AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng CD, đoạn thẳng AH gọi là đường cao của hình thang.

Kết luận:

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Hình thang cân ABCD với hai đáy là AB và CD (Hình 3a) có ; .

Hình thang có một góc vuông được gọi là hình thang vuông (Hình 3b).

Ví dụ 1: (SGK – tr69)

Thực hành 1:

Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có

MNPQ là hình thang vuông

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có: 

Do đó:

Vậy các góc chưa biết của hình thang MNPQ là:

b)

Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có:

MNPQ là hình thang cân.

Suy ra

Vậy các góc chưa biết của hình thang MNPQ là:

Vận dụng 1:

Hình thang cân ABCD có:

nên 

Vận dụng 2:

a) Ta có (hai góc kề bù)

Suy ra

Do đó

Mà hai góc này ở vị trí so le trong 

nên HE // GF (DHNB)

Xét tứ giác EFGH có:

 HE // GF 

nên EFGH là hình thang (DHNB)

b) Xét hình thang EFGH có: 

(tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra

Vậy góc chưa biết của tứ giác EFGH là .

Hoạt động 2. Tính chất của hình thang cân

GV đưa ra câu hỏi:  Nếu một hình thang là hình thang cân thì?

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP2.

a)

+) Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có

Vì CE // AD nên (đồng vị).

Do đó

Xét có:

  nên là tam giác cân tại C.

+) Do cân tại C (cmt) nên CE = CB       (1)

Xét và có:

(do AD // CE);

DE là cạnh chung;

(do DC // AB).

Do đó (g.c.g).

Suy ra (hai cạnh tương ứng)        (2)

Từ (1) và (2) ta có .

b) Vì MNPQ là hình thang cân

suy ra MQ = NP.

Xét hình thang cân MNPQ (MN // QP) có:

Xét và có:

MQ = NP (cmt);

(cmt);

MN là cạnh chung.

Do đó (c.g.c)

Suy ra NQ = MP (hai cạnh tương ứng).

Kết luận:

Trong hình thang cân:

- Hai cạnh bên bằng nhau.

- Hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 2. (SGK-tr70)

Chú ý:

Nếu một hình thang là hình thang cân thì nó có hai cạnh bên bằng nhau, nhưng một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì chưa chắc là hình thang cân.

VD:

Hình thang ABCD trong hình 8 có hai đáy là: AB, CD và hai cạnh bên bằng nhau AD = BC nhưng không phải hình thang cân (vì hai góc A và B cùng kề một đáy không bằng nhau).

Thực hành 2.

Xét hình thang cân MNPQ (MN // PQ), theo tính chất hình thang cân, ta có:

+ MQ = NP (hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau)

+ MP = NQ (hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau).

Vậy các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ là MQ = NP; MP = NQ.

Vận dụng 3:

Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có:

AD = BC

AC = BD (tính chất hình thang cân).

Kẻ BK ⊥ DC.

Ta có AB // DC và BK ⊥ DC

Suy ra BK ⊥ AB 

nên

Xét ∆AHK và ∆ABK có:

;

AK là cạnh chung;

(vì DC // AB).

Do đó ∆AHK = ∆ABK (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = BK = 1m (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆AHD và ∆BKC có:

;

AD = BC (cmt);

(cmt).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

Mà

Hay

Khi đó  

và HC = 2 m.

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại H, ta có:

Do đó (m).

Áp dụng định lí Pythagore cho vuông tại H, ta có:

Do đó (m).

Vậy m, m.

3. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN 

HĐKP 3.

a) Xét hình thang ABCD có:

 AB // CD hay AE // DC nên (so le trong)

Do DB // CE nên (so le trong).

Xét và có:

(cmt);

CB là cạnh chung;

(cmt).

Do đó (g.c.g).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)

Mà AC = BD (gt)

Nên AC = CE.

Xét có:

AC = CE 

nên cân tại C.

b) Do cân tại C (câu a) nên (hai góc tương ứng).

Mặt khác DB // CE nên (đồng vị).

Do đó

Xét và có:

AB là cạnh chung;

(cmt);

BD = AC (gt).

Do đó (c.g.c).

Kết luận:

- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ 3: SGK – tr70

Thực hành 3. 

Dùng thước đo góc và thước đo độ dài ta xác định được:

+) Hình 12a) có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang, ta đo được nên hình thang ABCD là hình thang cân.

+) Hình 12b) có ST // VU nên tứ giác STUV là hình thang, ta đo được 

 nên hình thang STUV không phải là hình thang cân.

+) Hình 12c) có EH // FG nên tứ giác EFGH là hình thang, ta đo được EG = HF nên hình thang EFGH là hình thang cân.

+) Hình 12d) có:

 MN // QP (do có cặp góc so le trong bằng nhau nên tứ giác MNPQ là hình thang, ta đo được:

 nên hình thang MNPQ không phải là hình thang cân.

Vận dụng 4. 

+) MNPQ là hình thang cân nên: 

(tính chất hình thang cân)

+) Ta có: (cmt) và (gt)

Suy ra hay

Xét và có:

MK là cạnh huyền chung;

(do QP // MN).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra HK = NM = 6 cm (hai cạnh tương ứng).

+) Xét và có:

(cmt);

(cmt).

Do đó (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

Mà

Hay

Khi đó 

Nên

+) Áp dụng định lí Pythagore vào DMHP vuông tại H, ta có:

Suy ra

Do đó MH = 8 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào vuông tại H, ta có:

Suy ra (cm).

Vậy hình thang cân MNPQ có độ dài đường cao là ; độ dài cạnh bên là cm.

………..

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học,GV yêu cầu HS luyện tập làm bài:

Câu 1: Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

A. 15cm

B. 9cm

C. 12cm

D. 27cm

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì ?

A. Hình thang

B. Hình thang vuông

C. Hình thang cân

D. Hình chữ nhật

Câu 3: Hình thang cân là hình thang có tính chất nào trong số các tính chất dưới đây? 

A. Có bốn cạnh song song với nhau.

B. Có hai đường chéo vuông góc với nhau.

C. Có hai góc kề một đáy bằng nhau.

D. Có bốn cạnh bằng nhau.

Câu 4: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng 

A. AC = CD

B. EA = EB, EC = ED.

C. AB = CD

D. A^ =B^

Câu 5: Một hình thang cân có cạnh bên là 2,5cm; đường trung bình là 3cm. Chu vi của hình thang là:

A. 8cm

B. 12cm

C. 11cm

D. 11,5cm

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi giao điểm của AD và BC là M . Tam giác MCD là tam giác gì ?   

Câu 2: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có , DB là tia phân giác của góc D. Tính cạnh CD của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm. ?