Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Xác suất có điều kiện” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

+ Nhắc lại công thức xác suất toàn phần.

+ Nhắc lại công thức Bayes.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố và . Khi dó, ta có công thức sau:

Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý. Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

Ví dụ 1: Bạn Tâm tham gia một trò chơi tương tác trên truyền hình. Xác suất để Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,6. Nếu trả lời đúng câu hỏi thứ nhất thì xác suất Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,7; nếu trả lời sai câu hỏi thứ nhất thì xác suất để Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,45.

Gọi là biến cố: “Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và là biến cố: “Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

a) Sử dụng sơ đồ cây để mô tả bài toán trên.

b) Tính xác suất để Tâm trả lời đúng câu hỏi thứ hai.

Giải

a)

b) Cách 1: Dựa vào sơ đồ cây, ta có xác suất cần tìm là:

Cách 2: Ta có: và .

Xác suất cần tìm là:

2. Công thức Bayes

Cho và là hai biến cố, với .

Khi đó, ta có công thức sau:

Công thức trên có tên là công thức Bayes.

Chú ý. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng:

Ví dụ 2: Ở một địa phương X, xác suất để một người lớn trên 40 tuổi mắc bệnh ung thư là 0,05. Xác suất bác sĩ chẩn đoán đúng một người mắc bệnh ung thư là 0,78 và chẩn đoán sai (không bị ung thư nhưng lại chẩn đoán mắc bệnh) là 0,06. Tính xác suất để một người trên 40 tuổi thực sự mắc bệnh ung thư khi nhận được kết quả chẩn đoán bị ung thư.

Giải

Gọi là biến cố: “Một người trên 40 tuổi thực sự bị ung thư”, là biến cố “Một người trên 40 tuổi được chẩn đoán ung thư”.

Ta có: .

Khi đó: 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần

Phương pháp giải: 

Cho hai biến cố và với . Khi đó:

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố bất kì.

Bài 1. Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai; sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.

Bài 2. Trong số 100 sinh viên tình nguyện có 64 em đăng kí hiến máu nhân đạo. Có 25 em đăng kí hiến máu có nhóm máu O; trong số những em không hiên máu thì có 15 em có nhóm máu O. Chọn ngẫu nhiên một em sinh viên tình nguyện. Tính xác suất để em sinh viên đó có nhóm máu O.

Bài 3. Trong ngày liên hoan cuối năm học, thầy giáo cho học sinh bốc thăm may mắn. Trong số 10 lá thăm thì có 5 lá thăm có trúng thưởng. Hai bạn Hùng và Dũng lần lượt được lên bốc thăm. Tính xác suất để bạn Dũng bốc được thăm có trúng thưởng (bạn Hùng bốc thăm trước và không hoàn lại)?

Bài 4. Một giải thi đấu cờ tướng online diễn ra những đã có một số kỳ thủ gian lận khi sử dụng các phần mềm cờ tướng trợ giúp. Vì vậy Ban tổ chức đã sử dụng một phần mềm phát hiện gian lận, phần mềm này sẽ bật báo động với tỉ lệ 96% đối với kỳ thủ có gian lận; sai sót của phần mềm là nó cũng bật báo động đối với 2% kỳ thủ không có gian lận. Biết rằng có đến 15% kỳ thủ tham gia thi đấu có gian lận. Tính xác suất để khi gặp một kỳ thủ đang thi đấu mà phần mềm này báo động có gian lận.

Bài 5. Một lớp học có số lượng học sinh nam chiếm 65%. Tỉ lệ học sinh nam học khá môn Tiếng Anh là 75%; tỉ lệ học sinh nữ học khá môn Tiếng Anh là 82%. Nếu ta gặp ngẫu nhiên một bạn học sinh trong lớp thì xác suất để bạn học sinh này học khá môn Tiếng Anh là bao nhiêu?

DẠNG 1:

Bài 1. 

Gọi là biến cố “Viên bi được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là bi đỏ”; là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”.

Ta có: và (Vì nếu lấy được 1 bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 7 bi đỏ trong tất cả 11 bi).

  và (vì nếu lấy được 1 bi xanh từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai thì ở hộp thứ hai có 6 bi đỏ trong tất cả 11 bi).

Do vậy

Bài 2. 

Gọi là biến cố “Sinh viên được chọn có đăng kí hiến máu nhân đạo”; là biến cố “Sinh viên có nhóm máu O”.

Ta có:

Xác suất cần tính là:

Bài 3. 

Gọi là biến cố “Hùng bốc được thăm có trúng thưởng”;   là biến cố “Dũng bốc được thăm có trúng thưởng”.

Ta có: và (Vì nếu Hùng bốc được thăm trúng thưởng thì còn lại 4 thăm có thưởng trong số 9 lá thăm mà Dũng sẽ lên bốc).

  và (vì nếu Hùng bốc được thăm không trúng thưởng thì vẫn còn 5 lá thăm có thưởng trong số 9 lá thăm mà Dũng sẽ bốc).

Do vậy .

Bài 4. 

Gọi là biến cố “Kỳ thủ thi đấu có gian lận”; là biến cố “Phần mềm phát báo động có gian lận”.

Ta có:

Xác suất cần tính là:

Bài 5. 

Gọi là biến cố “Gặp một học sinh nam”; là biến cố “Gặp một học sinh học khá môn Tiếng Anh”.

Ta có:

Xác suất cần tính là: