Giáo án Toán 12 kết nối Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9; còn nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,75. Nhà tổ chức sự kiện quan tâm đến xác suất để bán được hết vé là bao nhiêu.

Công thức xác suất trong Mục 1 sẽ trả lời cho ta câu hỏi đó.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS hoạt động thảo luận theo nhóm đôi thực hiện HĐ 1.

- GV giới thiệu công thức xác suất toàn phần giúp tính .

- GV hướng dẫn Ví dụ 1: 

+ GV yêu cầu HS gọi tên các biến cố và xác định xác suất cần tính.

+ Tính lần lượt các xác suất: .

+ Áp dụng công thức xác suất toàn phần tính xác suất .

- HS thực hiện Luyện tập 1, tương tự.

- GV yêu cầu HS hoạt động theo nhóm đôi vẽ sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố trong Ví dụ 1.

- GV lưu ý HS khi điền thông số tương ứng với xác suất của biến cố vào từng nhánh thì tổng xác suất của các nhánh cùng gốc luôn bằng 1.

- GV hướng dẫn HS tính xác suất khi nhìn vào sơ đồ cây qua các nhánh.

- HS thực hiện Luyện tập 2.

+ HS thực hiện trình bày lời giải bằng sơ đồ hình cây và sử dụng công thức xác suất toàn phần.

- GV yêu cầu HS suy nghĩ, thực hiện Vận dụng.

+ HS thực hiện đặt tên các biến cố và vẽ sơ đồ cây để minh họa xác suất của biến cố.

+ GV chú ý cho HS: và là hai biến cố độc lập, từ đó áp dụng công thức nhân xác suất: .

- HS thực hiện tương tự Luyện tập 3.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Công thức xác suất toàn phần

HĐ 1:

Gọi là biến cố: “Trời mưa” và là biến cố: “Bán hết vé”

a) Ta có: ; 

Lại có, nếu trời mưa thì xác suất bán hết vé là 0,4 nên ; 

Nếu trời không mưa thì xác suất bán hết vé là 0,9 nên .

b) Nhà tổ chức quan tâm tới nhất.

Kết luận

Cho hai biến cố và . Khi dó, ta có công thức sau:

Công thức trên được gọi là công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ 1 (SGK -tr.73)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.73

Luyện tập 1

Từ kết quả của HĐ1, áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta được:

.

Chú ý. Một phương pháp mô tả trực quan công thức xác suất toàn phần là dùng sơ đồ hình cây.

Ta vẽ sơ đồ hình cây như sau:

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và ;

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và ;

Trên nhánh cây và tương ứng ghi và

Có hai nhánh cây đi tới là và . Vậy

Luyện tập 2

Gọi là biến cố: “Thứ ba, ông An đi làm bằng xe máy”; là biến cố: “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe máy”.

Khi đó, biến cố là “Thứ tư, ông An đi làm bằng xe buýt”.

Ta có sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố như sau:

Hai nhánh cây đi tới là và .

Như vậy

Vận dụng

Hướng dẫn giải: SGK – Tr.74.

Luyện tập 3

a) Gọi là biến cố: “Cây con nhận gene B từ bố”; là biến cố: “Cây con nhận gene B từ mẹ”; là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”.

Theo giả thiết, và độ lập nên .

+ Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene bb.

Vậy .

là xác suất để cây con nhận gene B từ bố với điều kiện bố có kiểu gene Bb.

Vậy

Từ đó ta có

+ Tương tự, ta cũng có .

.

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gên BB là khoảng 9%.

b) Gọi là biến cố: “Cây con có kiểu gene Bb”.

Vì và hai biến cố xung khắc nên 

Vậy

Vậy tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là khoảng 42%.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV giới thiệu tình huống mở đầu và nêu hai sai lầm thưởng xảy ra trong tình huống xét nghiệm.

- GV đặt vấn đề: “Xét nghiệm của ông M cho kết quả dương tính. Biết rằng nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính; vậy điều này có tương đương với xác suất ông M mắc bệnh hiểm nghèo là 0,95 hay không?”

- GV yêu cầu HS hoạt động thảo luận theo nhóm đôi thực hiện HĐ 2.

+  GV yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa và công thức xác suất có điều kiện.

- GV giới thiệu công thức Bayes.

- GV trình bày mục Chú ý: Sử dụng công thức xác suất toàn phần để viết lại công thức Bayes.

- GV giải thích ý nghĩa của công thức Bayes.

- GV hướng dẫn Ví dụ 2: 

+ GV yêu cầu HS gọi tên các biến cố và xác định xác suất cần tính.

+ Tính lần lượt các xác suất: .

+ Áp dụng công thức Bayes.

- HS thực hiện Luyện tập 4.

- GV yêu cầu HS hoạt động theo nhóm đôi vẽ sơ đồ hình cây mô tả xác suất của biến cố trong Ví dụ 1.

- GV lưu ý HS khi điền thông số tương ứng với xác suất của biến cố vào từng nhánh thì tổng xác suất của các nhánh cùng gốc luôn bằng 1.

- GV hướng dẫn HS tính xác suất khi nhìn vào sơ đồ cây qua các nhánh.

………………….

2. Công thức Bayes

Tình huống mở đầu: SGK – tr.75

HĐ 2

a) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm cho kết quả dương tính.

là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

b) Nếu một người mắc bệnh X thì với xác suất 0,95 xét nghiệm cho dương tính, tức là xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính với điều kiện người đó mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,95.

Do đó

Vậy không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.

Kết luận

Cho và là hai biến cố, với .

Khi đó, ta có công thức sau:

Công thức trên có tên là công thức Bayes.

Chú ý. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Do đó, công thức Bayes còn có thể viết dưới dạng:

Ý nghĩa của công thức Bayes: SGK – tr.75

Ví dụ 2 (SGK -tr.76)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.76

Luyện tập 4

Gọi là biến cố: “Chai rượu là rượi loại I”; là biến cố: “Ông Tùng xác nhận nhận đây là rượu loại I”. Bài toán yêu cầu tính .

Ta có:

.

là xác suất để một chai rượu loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I. Theo đề bài, ta có

là xác suất để một chai rượu không phải loại I được ông Tùng xác nhận là rượu loại I.

Theo đề bài, ta có .

Áp dụng công thức Bayes ta được:

Vậy xác suất để chai rượu đúng là rượu loại I là khoảng 0,8852.

Ví dụ 3 (SGK -tr.76)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.76

………………….