Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

• Muốn khảo sát và vẽ đồ thị của một hàm số ta làm thế nào? Nêu các bước thực hiện.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

 Sơ đồ khảo sát hàm số

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số  ta thực hiện theo các bước sau đây:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm  Tìm các điểm tại đó  bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

• Xét dấu  để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm cực trị của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

Chú ý: Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp). Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối xứng tâm, đối xứng trục).

Ví dụ: Cho hàm số . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Tập xác định: .

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , đạt cực tiểu tại  .

.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt trục  tại điểm:

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Khảo sát hàm số  và các dạng bài liên quan.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số.

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

• Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có và dễ tìm),..

• Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số của các hàm số sau:

a) ;	b) ;
c) ;	d) .

Bài 2: Cho hàm số , trong đó  là tham số.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho với .

b) Với giá trị nào của   thì hàm số nghịch biến trên khoảng .

Bài 3: Cho hàm số  (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi

b) Tìm  để hàm số (1) có hai điểm cực trị  và  sao cho điểm  là trung điểm của đoạn .

Bài 4: Cho hàm số  có đồ thị là .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với .

b) Tìm  để đường thẳng  cắt đồ thị hàm số   tại ba điểm phân biệt  và  sao cho diện tích tam giác  bằng (với  là góc tọa độ).

Bài 5: Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ đồ thị  của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị thực của tham số  để phương trình  có một nghiệm duy nhất.

Bài 6: Cho hàm số  (với  là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi .

b) Tìm tất cả các giá trị của  để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .

DẠNG 1:

Bài 1:

a)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và , hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

c)

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và

Hàm số không có cực trị.

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

d) .

Tập xác định:

Ta có: .

.

Hàm số đồng biến trên khoảng , hàm số không có cực trị.

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

Bài 2:

a) Khi  hàm số trở thành: .

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đi qua điểm .

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Hàm số

Ta có:

Để hàm số đồng biến trên khoảng 

Xét

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy:

Vậy  thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng .

Bài 3: 

a) Khi  hàm số trở thành: .

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Ta có: ,

Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi  có hai nghiệm phân biệt 

.

Toah độ các điểm cực trị là .

Điểm  là trung điểm của đoạn  khi và chỉ khi:

Vậy

Bài 4:

a) Với  thì hàm số có dạng

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số cắt  tại điểm và cắt trụ  tại điểm .

Đồ thị nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt  khi phương trình  có hai nghiệm phân biệt và khác 0.

Ta có:

Giả sử , với  là hai nghiệm của phương trình .

Theo định lý vi-ét ta có:

Ta có:

Đối chiếu với điều kiện ta được  là các giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 5:

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số nghịch biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm  làm tâm đối xứng.

b) Ta có:

Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của  và đường thẳng :  ( cùng phương trục ). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của  và .

Dựa vào đồ thị  để phương trình có một nghiệm duy nhất thì:

Vậy

Bài 6:

a) Với  hàm số có dạng

Tập xác định:

Ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và , hàm số đồng biến trên khoảng .

Hàm số đạt cực đại tại , hàm số đạt cực tiểu tại .

,

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Ta có:

Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại   Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và nghiệm  với ).

Ta có:

Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vì hàm số đạt cực tiểu tại  nên  là một nghiệm của phương trình (*).

Ta có:

+ Với (Loại)

+ Với (Thỏa mãn)

Vậy  thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại  .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Khảo sát hàm số  và các dạng toán liên quan.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên của hàm số

• Tìm đạo hàm , xét dấu , xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

• Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

• Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số

• Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

• Vẽ đồ thị hàm số.

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) ;	b) ;
c) ;	c) .

Bài 2: Cho hàm số  có đồ thị kí hiệu là .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị  của hàm số đã cho.

b) Tìm  để đường thẳng  cắt đồ thị  tại hai điểm phân biệt  sao cho .

Bài 3: Cho hàm số  với  là tham số.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .

b) Tìm tất cả các giá trị của  để đường thẳng  cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt có hoành độ  sao cho .

Bài 4: Cho hàm số (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).

b) Tìm điểm  thuộc (1) có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị .

b) Tìm các giá trị của   để phương trình  có hai nghiệm phân biệt.

c) Tìm hai điểm trên hai nhánh khác nhau của đồ thị  sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.