Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

HOẠT ĐỘNG CỦA GV- HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập.

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Hệ trục tọa độ trong không gian” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

- GV đặt câu hỏi:

1. Hệ trục tọa độ trong không gian.

- Nhắc lại khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian.

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian.

- Nhắc lại khái niệm tọa độ điểm,tọa độ vectơ trong không gian.

- Nhắc lại cách xác định tọa độ vectơ khi biết tọa độ hai đầu mút.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập.

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận.

- Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập.

- GV đưa ra nhận xét, đánh giá chuẩn kiến thức.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian.

Khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục  đôi một vuông góc với nhau tại gốc  của mỗi trục. Gọi  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .

• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc , hay đơn giản là hệ tọa độ .

• Điểm  được gọi là gốc tọa độ.

• Các mặt phẳng 
  đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ  còn được gọi là không gian .

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng  có đáy là tam giác vuông cân tại , . Vẽ hệ trục tọa độ  có gốc  trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia  và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Với  là gốc tọa độ, ta vẽ được các trục  như hình trên. Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian

Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

Trong không gian , cho một điểm  tùy ý. Bộ ba số  duy nhất sao cho   được gọi là tọa độ của điểm  đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết  hoặc , trong đó  là hoành độ, là tung độ,  là cao độ của .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật  có . Xác định tọa độ của điểm .

Trả lời:

Ta có:  

           ;

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Suy ra: .

Nhận xét: Nếu điểm  có tọa độ  đối với hệ trục tọa độ  thì:

- Hình chiếu vuông góc của điểm  trên các trục  và  có tọa độ lần lượt là .

- Hình chiếu vuông góc của  trên các mặt phẳng  có tọa độ lần lượt là 
.

Ví dụ: Trong không gian , cho điểm .

a) Tìm hình chiếu của điểm  lên trục .

b) Tìm hình chiếu của điểm  lên mặt phẳng .

Trả lời:

a) Hình chiếu của điểm  lên  là .

b) Hình chiếu của điểm  lên mặt phẳng  là

Khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian , cho vectơ  tùy ý. Bộ ba số  duy nhất sao cho  được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết  hoặc 
.

Nhận xét

- Tọa độ của vectơ  cùng là tọa độ của điểm  sao cho  .

- Trong không gian, cho hai vectơ   và . Khi đó,  nếu và chỉ nếu

Ví dụ: Trong không gian , hãy tìm tọa độ của các vectơ

a) ;

b) .

Trả lời:

a) Vì  nên .

b) Vì  nên .

Tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

Trong không gian , cho hai điểm  và . Khi đó:

Ví dụ: Trong không gian , cho  . Tìm tọa độ của  .

Trả lời:

Ta có:  . 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tìm tọa độ của điểm

Phương pháp giải:

- Trong không gian , cho một điểm  tùy ý. Bộ ba số  duy nhất sao cho   được gọi là tọa độ của điểm  đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết  hoặc , trong đó  là hoành độ, là tung độ,  là cao độ của .

- Sử dụng phép chiếu lên mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ.

Bài 1. Trong không gian , xác định tọa độ điểm  trong mỗi trường hợp sau:

a)  trùng với gốc tọa độ;

b)  nằm trên tia  và .

c)  nằm trên tia đối của tia  và .

Bài 2. Trong không gian , cho điểm .

a) Tìm hình chiếu của  lên các trục .

b) Tìm hình chiếu của  lên các mặt phẳng .

Bài 3. Trong không gian , xác định tọa độ điểm  trong mỗi trường hợp sau:

a)  .

b)  , biết .

c)  nằm trên tia .

Bài 4. Cho chiếc bàn như hình bên dưới, cao , rộng , dài . 

Bài 5.  Trên bầu trời có con chim đang bay cách mặt đất 10m. Đường bay tạo với mặt đất một góc . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Hãy tìm tọa độ của con chim.